2. 物理残差的基本概念

在物理信息神经网络（PINN）与自适应采样方法中，“残差”是贯穿始终的核心量。它既是物理方程被网络满足程度的度量，也是采样策略决定“在哪里加密点”的直接依据。理解残差的定义、强形式与弱形式的差别，以及它在采样中的角色，是后续所有自适应算法的基础。

残差是什么：把方程“搬到”网络输出上

考虑一个一般的物理方程，写成算子形式：

N[u(x)] = f(x),  x ∈ Ω
B[u(x)] = g(x),  x ∈ ∂Ω

其中 N 是微分算子（可能含空间导数、时间导数、非线性项），B 是边界或初始条件算子。真实解 u* 使等式严格成立。而神经网络给出的近似解 u_θ(x) 通常不满足方程，于是定义物理残差为把 u_θ 代入方程后得到的偏差：

r(x; θ) = N[u_θ(x)] - f(x)

边界残差类似地定义为 r_b(x; θ) = B[u_θ(x)] - g(x)。残差是一个关于空间点 x 和网络参数 θ 的函数：对固定 θ，它是一张“误差场”；对固定 x，它是训练时可优化的标量。残差处处为零，等价于 u_θ 是方程的精确解。因此 PINN 的损失通常写成残差在采样点上的均方值：

L(θ) = (1/N_r) Σ r(x_i; θ)² + λ (1/N_b) Σ r_b(x_j; θ)²

这里 N_r、N_b 是配点与边界点的数量，λ 平衡两项。注意残差与“数据误差”不同：数据误差衡量预测与观测的差，残差衡量预测与物理定律的差，后者不需要任何标签，这正是 PINN 能少数据甚至无数据求解的原因。

强形式残差与弱形式残差

按对方程的处理方式，残差分为两类。强形式残差直接把微分算子作用在网络上，要求逐点满足方程，如上式所示。它实现简单，但对网络的光滑性要求高：若方程含二阶导数，网络必须二阶可微，且高阶导数在训练中容易数值不稳定。

弱形式残差则先把方程乘以测试函数 v，在区域上积分并分部积分，把导数“转移”到测试函数上：

∫_Ω (N[u_θ] - f) v dx = 0,  ∀v

分部积分后，对 u_θ 的求导阶数降低，对测试函数 v 的导数要求提高。实际计算时用一组测试函数（如多项式、正弦基或分段函数）把积分条件离散成若干标量残差。弱形式的优点是降低了对解的光滑性要求，能更自然地处理间断、奇异源项和复杂边界；代价是需要选取测试函数并做数值积分，实现比强形式复杂。工程上，光滑问题多用强形式，含材料界面、裂纹或低正则解的问题倾向弱形式（如 VPINN、能量形式 PINN）。

残差在采样中的角色

残差不仅是损失函数的一部分，更是采样密度的指示器。均匀采样在残差大的区域（如激波、边界层、源项突变处）往往配点不足，导致这些区域训练不充分。自适应采样的基本思想是：先训练一轮，计算各候选点的残差，再把新配点集中到残差较大的区域。常见做法包括：

• 残差阈值加密：在候选池中保留 |r(x)| 超过阈值 ε 的点，或按残差大小做概率采样；
• 残差梯度采样：不仅看残差大小，还看残差在空间上的变化率，把点放在残差梯度大的位置；
• RAD 类方法：用残差分布构造采样概率密度，周期性重采样，使配点随训练推进逐步向高残差区迁移。

需要注意，残差大小受方程量纲和系数影响，直接比较不同区域的残差可能失真。实践中常对残差做归一化（除以 f 的尺度或局部梯度尺度），或结合解的梯度、曲率等几何量共同决定采样密度。此外，残差在训练早期普遍偏大，过早据此加密容易把点堆在虚假的高残差区，通常要等损失下降到一定水平后再启动自适应重采样。

常见物理方程的残差示例

以几个典型方程说明残差的具体形式（均为一维示例，x 为空间坐标，t 为时间）：

以热传导为例，若取 α = 0.01、区域 x ∈ [0,1]、t ∈ [0,1]，网络输出 u_θ，则每个配点 (x_i, t_i) 上的残差为 ∂_t u_θ(x_i,t_i) − 0.01 ∂_xx u_θ(x_i,t_i)。训练时用自动微分同时求一阶时间导数和二阶空间导数，把残差平方求和作为物理损失。若在某段初始时刻附近残差持续偏大，说明该区域时间分辨率不足，自适应采样就应在此处增加配点。

总结来说，残差把“物理定律”翻译成了可计算的数值偏差：强形式逐点代入、实现直接但要求光滑；弱形式积分加权、适应低正则问题但实现复杂。在采样层面，残差是决定配点分布的核心信号，配合归一化与训练阶段控制，才能让自适应采样真正把计算资源投到最需要的地方。