3. 物理源项反演的正向建模
源项反演的本质是“由场推源”，而正向建模则是这条推理链的起点：给定源项（位置、强度、释放历史）与介质参数，预测观测点上的场量。只有正向模型足够可信，反演结果才有物理意义。本节围绕三类典型方程——扩散方程、波动方程、热传导方程——说明如何从守恒定律导出源-场关系，并给出离散化与数值求解的基本做法。
一、从守恒定律到控制方程
所有正向模型的共同起点是“守恒”。以污染物在大气或水体中的扩散为例，取一个控制体积，追踪某组分浓度 C(x,t) 的质量收支：体积内质量变化率等于净流入通量加上源汇项。净流入由菲克定律给出 J = -D∇C（D 为扩散系数），源项记为 S(x,t)，于是得到
∂C/∂t + ∇·(uC) = ∇·(D∇C) + S(x,t)其中 u 为流速场。若介质静止（u=0）且 D 为常数，则退化为经典扩散方程 ∂C/∂t = D∇²C + S。这里需要先约定符号：本文统一取源项 S>0 表示向介质释放物质，观测浓度随源强单调增加，这一约定在后续反演中必须保持一致。
波动方程来自动量守恒与介质本构关系。以一维声压 p(x,t) 为例，连续性方程与状态方程联立可得 ∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x² + f(x,t)，c 为波速，f 为源项（与体积加速度相关）。热传导方程则直接由傅里叶定律与能量守恒导出 ρc_p∂T/∂t = ∇·(k∇T) + q，q 为体热源。三者的数学结构差异决定了正向建模与反演的难度：扩散方程是抛物型，具有强耗散与平滑效应，源信息在传播中被“抹平”；波动方程是双曲型，信息以有限速度传播并保留到时特征；热传导方程同样是抛物型，但时间尺度通常更长。
二、离散化：把连续方程变成可计算的代数系统
以二维扩散方程为例，采用显式有限差分。设网格步长 Δx=Δy=h，时间步长 Δt，对 ∂C/∂t 用前向差分、对 ∇²C 用五点中心差分，得到
C[i,j]^(n+1) = C[i,j]^n + D·Δt/h² · (C[i+1,j]^n + C[i-1,j]^n + C[i,j+1]^n + C[i,j-1]^n − 4C[i,j]^n) + S[i,j]^n·Δt稳定性条件是 D·Δt/h² ≤ 1/4（二维）。若取 D=1.0 m²/s、h=0.5 m，则 Δt ≤ 0.0625 s，时间步长被网格严重限制。工程上常改用隐式格式（如 Crank–Nicolson），此时每步需解一个稀疏线性方程组 A·C^(n+1)=b，但可放宽 Δt。有限体积法更适合非均匀介质，因为它保证每个控制体上的通量守恒；有限元法则便于处理复杂边界与不规则源区。
波动方程的离散需特别注意数值色散：空间二阶中心差分配合时间二阶中心差分时，需满足 Courant 条件 c·Δt/Δx ≤ 1。若网格过粗，高频成分传播速度失真，会直接影响基于到时的源定位精度。热传导方程与扩散方程同属抛物型，离散格式可复用，但材料热扩散率 α=k/(ρc_p) 往往比质量扩散系数小几个数量级，模拟时间窗口需相应拉长。
三、源项在模型中的三种嵌入方式
正向建模中，源项如何进入离散系统，直接决定反演参数化的形式。常见有三种：其一，点源，将 S 写成 Q·δ(x−x_s)δ(y−y_s)，离散后只作用于源所在网格，未知量为 Q 与网格索引；其二，面源或体源，源强分布在若干网格上，未知量为一组系数；其三，边界源，通过边界条件（如给定通量）进入，适合烟囱、泄漏口等场景。以点源为例，若源位于第 (i_s,j_s) 个网格，则观测点 k 的响应可写成 d_k = G(k; i_s,j_s)·Q，其中 G 为格林函数响应，可由一次单位源强的正向模拟得到。把所有观测点的 G 排成矩阵，就得到观测算子 H，这正是后续反演的核心输入。
四、一个可复现的正向计算示例
设一维瞬时点源在静止介质中扩散，D=0.01 m²/s，源强 M=1 kg/m² 于 t=0 释放于 x=0。解析解为 C(x,t)=M/(2√(πDt))·exp(−x²/(4Dt))。取 L=10 m、h=0.1 m、Δt=0.05 s，校验 D·Δt/h²=0.05≤0.5（一维稳定条件为 1/2），格式稳定。在 t=100 s 时，解析解峰值约 0.282 kg/m³，峰值位于 x=0；数值解应与之接近，差异主要来自离散误差与源项初始化方式（建议将 M 按网格体积分配到源网格，而非直接赋浓度）。若把源改为 x=2 m 处，峰值位置随之平移，这一“位置—峰值”对应关系正是反演中定位信息的来源。
五、从正向模型到反演接口
正向建模的最终交付物不是一张浓度云图，而是一个可调用的映射 d = H(θ)，其中 θ 为源参数（位置、强度、释放时间等）。实践中应明确三件事：观测算子对应的观测点坐标与采样时刻；源参数化的维度与物理约束（如源强非负）；正向模型的数值误差量级，它决定了反演结果的可信区间。只有把这三者固化下来，正向模型才能真正成为反演算法的“发动机”，而不是一个孤立的仿真脚本。