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PDE离散求解综合实战45例

共计 45 章节

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一维稳态扩散方程有限差分离散与验证

针对一维稳态扩散方程 · 在均匀网格上推导并实现二阶中心差分格… · 通过制造解验证离散格式的收敛阶

一维稳态扩散方程…验证

一维对流扩散方程迎风格式与中心格式对比

实现一维稳态对流扩散方程的迎风格式与… · 在网格Péclet数变化时对比两种格… · 分析非物理振荡与数值耗散的来源

一维对流扩散方程…心格式对比

二维泊松方程五点差分格式与迭代求解

在矩形区域上离散二维泊松方程 · 采用五点差分格式 · 分别用Jacobi和Gauss-Se…

二维泊松方程五点…迭代求解

二维泊松方程九点差分格式精度提升实践

针对二维泊松方程构造九点紧致差分格式 · 与五点格式在相同网格下对比离散误差 · 重点分析高阶格式对边界附近精度和整体…

二维泊松方程九点…针对二维泊松方程…

非均匀网格一维边值问题离散与误差分析

对一维变系数边值问题采用非均匀网格有… · 实现网格映射与差分系数计算 · 通过网格加密研究离散误差随网格尺寸的…

非均匀网格一维边…误差分析

一维热传导方程显式格式稳定性验证

实现一维热传导方程的显式FTCS格式 · 通过改变时间步长与空间步长比值观察数… · 验证von Neumann稳定性条件…

一维热传导方程显…FTCS

一维热传导方程隐式格式与Crank-Nicolson格式对比

分别实现一维热传导方程的向后Eule… · 在相同网格下比较时间精度 · 稳定性和计算量

Crank-Nicols…一维热传导方程隐…

二维热传导方程交替方向隐式格式实现

针对二维热传导方程实现Peacema… · 通过分步求解三对角系统完成时间推进 · 验证格式的无条件稳定性和二阶时间精度

二维热传导方程交…Peacema

一维波动方程显式格式与数值色散分析

实现一维波动方程的显式中心差分格式 · 通过模拟行波脉冲观察数值色散现象 · 分析Courant数对波形失真和稳定…

一维波动方程显式…数值色散分析

一维Burgers方程非线性对流项离散与激波捕捉

对一维Burgers方程采用守恒型有… · 比较中心格式与迎风格式在激波形成后的… · 重点观察守恒性和激波分辨率

一维线性对流方程Lax-Wendroff格式与数值振荡

实现一维线性对流方程的Lax-Wen… · 通过方波输运算例观察色散引起的数值振… · 并与一阶迎风格式的数值耗散进行定量对…

Lax-Wendroff一维线性对流方程

一维对流方程通量分裂格式实现与验证

针对一维线性对流方程实现Steger… · 在间断初值下验证格式的守恒性和单调性 · 分析分裂方式对数值通量的影响

一维对流方程通量…验证

一维Euler方程Roe格式与激波管问题求解

实现一维Euler方程的Roe近似R… · 完成Sod激波管问题的数值模拟 · 重点验证通量守恒性并分析熵修正对膨胀…

一维Euler方程HLLC格式与接触间断分辨率

实现一维Euler方程的HLLC近似… · 在激波管算例中对比HLLC与Roe格… · 观察不同波系结构的数值耗散

二维Euler方程有限体积法通量计算实践

在二维结构网格上实现有限体积法求解E… · 采用Roe格式计算界面通量 · 通过双马赫反射算例验证格式对复杂波系…

MUSCL重构与斜率限制器对激波稳定性的影响

在一维Euler方程求解器中加入MU… · 分别使用Minmod和Superbe… · 通过激波管算例对比限制器对数值振荡和…

WENO5格式实现与光滑解精度验证

实现一维标量守恒律的五阶WENO格式 · 通过光滑解算例验证格式的收敛阶 · 并分析权重计算中线性权与非线性权对精…

WENO5格式实现

二维标量守恒律WENO格式与间断捕捉

将WENO5格式推广到二维标量守恒律 · 在旋转流场中输运方波 · 观察格式对间断的锐度保持能力和对二维…

WENO二维标量守恒律

一维扩散方程有限元弱形式与刚度矩阵组装

针对一维扩散方程推导有限元弱形式 · 采用线性单元组装刚度矩阵和载荷向量 · 通过制造解验证有限元解的收敛阶

一维扩散方程有限…刚度矩阵组装

二维Poisson方程有限元三角形单元实现

在二维三角形网格上实现Poisson… · 完成单元刚度矩阵计算和全局组装 · 通过L2误差收敛曲线验证有限元格式的…

二维Poisson方程有限元四边形等参单元实现

采用双线性四边形等参单元离散二维Po… · 实现等参变换和数值积分 · 对比三角形单元与四边形单元在相同自由…

一维对流扩散方程有限元SUPG稳定化

针对一维对流扩散方程实现标准Gale… · 引入SUPG稳定化项 · 通过改变稳定化参数分析其对振荡的抑制…

SUPG一维对流扩散方程…

二维Navier-Stokes方程有限元Stokes问题求解

实现二维Stokes方程的混合有限元… · 采用Taylor-Hood单元 · 通过方腔驱动算例验证速度与压力场的耦…

Navier-Stoke…Stokes

一维热传导方程有限元时间推进与质量矩阵处理

对一维热传导方程进行空间有限元离散 · 分别采用一致质量矩阵和集中质量矩阵进… · 比较两种质量矩阵对时间精度和计算效率…

一维热传导方程有…质量矩阵处理

一维Poisson方程谱方法配置点法实现

采用Chebyshev配置点法离散一… · 实现谱微分矩阵和边界条件处理 · 通过光滑解算例验证谱方法的指数收敛性

二维Poisson方程谱元法实现与收敛性分析

在二维矩形区域上实现谱元法离散Poi… · 采用Gauss-Lobatto-Le… · 通过改变多项式阶数和网格数验证谱元法…

一维对流方程谱方法滤波与Gibbs现象抑制

采用Fourier谱方法求解一维线性… · 在间断初值下观察Gibbs现象 · 实现谱滤波并分析滤波强度对振荡抑制和…

Gibbs一维对流方程谱方…

一维扩散方程区域分解Schwarz方法实现

针对一维扩散方程实现重叠型Schwa… · 通过改变子区域重叠量和迭代次数分析收… · 验证区域分解方法的并行求解框架

Schwarz一维扩散方程区域…

二维Poisson方程多重网格方法实现

实现二维Poisson方程的几何多重… · 包括光滑 · 限制和延拓算子

一维对流扩散方程代数多重网格预处理实践

将代数多重网格作为Krylov子空间… · 求解一维对流扩散方程离散系统 · 比较不同粗化策略对迭代收敛速度的影响

一维对流扩散方程…Krylov

二维Poisson方程共轭梯度法求解与预条件对比

对二维Poisson方程的五点差分系… · 分别采用Jacobi预条件和不完全C… · 比较迭代次数和计算时间随网格规模的变…

一维热传导方程时间自适应步长控制实现

为一维热传导方程的隐式时间推进实现自… · 基于局部截断误差估计调整步长 · 通过瞬态算例验证步长控制对精度和效率…

一维热传导方程时…为一维热传导方程…

一维Burgers方程隐式时间推进与Newton迭代

对一维Burgers方程采用向后Eu… · 在每个时间步用Newton法求解非线… · 实现Jacobian矩阵的解析组装并…

二维对流扩散方程算子分裂方法实现与验证

对二维对流扩散方程实现Strang分… · 将对流和扩散算子分别求解 · 通过制造解验证分裂格式的时间精度阶并…

二维对流扩散方程…验证

一维Euler方程保正格式实现与低压区域验证

在一维Euler方程求解器中实现保正… · 通过强膨胀算例验证密度和内能的非负性 · 分析保正修正对格式精度和稳定性的影响

二维浅水方程有限体积法干湿边界处理

实现二维浅水方程的有限体积求解器 · 重点处理干湿边界处的通量计算和源项离… · 通过溃坝算例验证干湿界面推进的稳定性…

二维浅水方程有限…实现二维浅水方程…

一维反应扩散方程算子分裂与刚性处理

对一维反应扩散方程采用算子分裂 · 扩散项用隐式格式 · 反应项用解析或隐式求解

一维反应扩散方程…刚性处理

二维Poisson方程离散系统稀疏矩阵存储与求解效率

比较二维Poisson方程离散系统的… · CSC · 坐标格式）

一维对流扩散方程离散格式的截断误差与修正方程分析

针对一维对流扩散方程的几种典型差分格… · 推导其修正方程并识别数值粘性和数值色… · 通过数值实验验证修正方程预测的误差主…

一维对流扩散方程…修正方程分析

二维热传导方程并行有限差分实现与性能分析

基于区域分解实现二维热传导方程显式格… · 通过改变进程数和网格规模测量加速比和… · 分析通信开销对可扩展性的限制

二维热传导方程并…性能分析

一维波动方程吸收边界条件离散与反射误差测试

为一维波动方程实现一阶和二阶吸收边界… · 通过脉冲传播算例测量边界反射误差 · 比较不同吸收边界条件对反射波的抑制效…

一维波动方程吸收…反射误差测试

二维Helmholtz方程有限差分离散与迭代求解器选择

对二维Helmholtz方程进行五点… · 分析系数矩阵的 indefinite… · 比较GMRES与BiCGSTAB在不…

Helmholtz二维

一维分数阶扩散方程离散与历史依赖存储优化

对一维分数阶扩散方程采用Caputo… · 实现历史项的递推存储与计算 · 通过对比直接求和与快速递推算法分析存…

一维分数阶扩散方…历史依赖存储优化

二维不可压Navier-Stokes方程投影法离散与验证

实现二维不可压Navier-Stok… · 包括对流扩散步和压力泊松方程求解 · 通过Taylor-Green涡算例验…

Navier-Stoke…二维不可压

一维Euler方程离散伴随灵敏度分析与梯度验证

对一维Euler方程求解器实现离散伴… · 计算目标函数对入口参数的梯度 · 通过有限差分验证伴随梯度的正确性