1. 课程导入与问题定义

泊松方程是数学物理方程中最具代表性的一类椭圆型偏微分方程，其一般形式可写为

∇²u = f（在区域 Ω 内）

其中 u 是待求的未知场函数，f 是已知的源项。当 f = 0 时，方程退化为拉普拉斯方程 ∇²u = 0。泊松方程之所以在物理与工程中无处不在，是因为它描述的是"某种通量的散度等于源密度"这一守恒关系：静电场中电势满足 ∇²φ = −ρ/ε₀，ρ 为电荷体密度；稳态热传导中温度满足 ∇²T = −q'''/k，q''' 为内热源强度；不可压缩势流中速度势满足 ∇²φ = 0；固体力学中棱柱杆扭转的应力函数也满足泊松方程。可以说，凡是涉及"扩散型平衡"的问题，最终几乎都会落到泊松方程上。

然而，除极少数规则区域和简单源项外，泊松方程没有解析解。工程实践中真正需要的是数值解：把连续区域离散成有限个节点，把微分算子替换为差分或弱形式积分，将偏微分方程转化为线性代数方程组，再借助计算机求解。这条"连续→离散→代数→数值"的链条，正是本课程的主线。

为了把整条链路看清楚，下面用一张图概括本课程的核心流程与各环节之间的依赖关系。图中每个环节都对应后续章节的具体任务，读者可以先建立全局印象，再逐节深入。

上图把课程拆成六个相互衔接的环节，并用一条橙色虚线标出验证失败时的反馈路径。需要强调的是，验证不是最后才做的"附加步骤"，而是贯穿始终的判断依据：离散格式的相容性、稳定性决定了误差的量级，而网格收敛性研究则直接回答"加密网格后解是否趋于稳定值"。

为了让后续讨论有统一的参照，本课程约定如下：二维区域 Ω = (0,1)×(0,1)，采用均匀网格，x、y 方向步长均为 h = 1/(N+1)，节点坐标 x_i = i·h，y_j = j·h，i,j = 0,1,…,N+1。未知量 u_i,j ≈ u(x_i, y_j)。二阶中心差分格式为

(u[i-1,j] - 2u[i,j] + u[i+1,j]) / h²
+ (u[i,j-1] - 2u[i,j] + u[i,j+1]) / h² = f[i,j]

整理后得到每个内点满足的五点格式：

4u[i,j] - u[i-1,j] - u[i+1,j] - u[i,j-1] - u[i,j+1] = -h² · f[i,j]

这个格式的截断误差为 O(h²)，即网格加密一倍，误差理论上缩小到约四分之一。这一预期正是后面验证环节的判据来源。

作为贯穿全课程的教学示例，我们取一个具有解析解的算例：令 u(x,y) = sin(πx)·sin(πy)，则 ∇²u = −2π²·sin(πx)·sin(πy)，即源项 f(x,y) = −2π²·sin(πx)·sin(πy)，边界上 u = 0（四边均为 Dirichlet 零边界）。该问题的解析解已知，因此可以精确计算离散解的误差，并观察误差随 h 的变化规律。需要说明，这是为教学设计的标准算例，后续章节中出现的数值均为按此设定计算或合理估算的示例结果，用于说明方法而非宣称实测。

在动手之前，先明确几个容易混淆的概念。第一，离散解与真解不是一回事：离散解是线性方程组的精确解，但它只近似原偏微分方程的解，二者之差称为离散误差。第二，代数求解误差是迭代法未完全收敛带来的残差，与离散误差相互独立，验证时要分开评估。第三，相容性要求 h→0 时差分格式逼近原方程，稳定性要求误差不被放大，二者共同保证收敛性。这些概念将在后续章节逐一展开，此处先建立框架。

最后给出本课程的预期产出清单，读者可以据此自检学习效果：其一，能够独立推导二维泊松方程的五点差分格式并正确处理 Dirichlet 与 Neumann 边界；其二，能够组装稀疏线性方程组并选择合适的求解策略；其三，能够设计网格收敛性实验，计算误差范数并估计收敛阶；其四，能够根据残差、收敛阶和解的物理合理性，对数值结果的可信度做出明确判断。这四项能力构成了本课程的核心目标，也是后续每一章服务的对象。