1. 课程导入与稳定性问题提出

数值求解偏微分方程时，我们往往把连续的物理问题离散成一组代数方程，再用计算机逐步推进。以最经典的一维热传导方程为例：

∂u/∂t = α ∂²u/∂x²,  0 < x < L, t > 0

其中 u(x,t) 表示温度，α > 0 为热扩散系数。物理上，热传导是耗散过程，初始温度分布会随时间逐渐平滑，任何局部扰动都会被抹平，解本身是有界的、稳定的。然而，数值格式未必继承这一性质——这正是本课程要解决的核心矛盾。

两种最基本的离散思路

对时间导数用前向差分、对空间二阶导数用中心差分，得到显式格式（FTCS）：

u_i^{n+1} = u_i^n + r (u_{i+1}^n − 2u_i^n + u_{i−1}^n),  r = αΔt/Δx²

它的优点是每一步都能直接算出新时刻的值，无需解方程组；缺点是 r 必须满足严格限制，否则计算会迅速发散。

若把空间二阶导数取在新时刻 n+1 上，则得到隐式格式（后向欧拉）：

−r u_{i−1}^{n+1} + (1+2r) u_i^{n+1} − r u_{i+1}^{n+1} = u_i^n

每一步都要解一个三对角线性方程组，计算量更大，但对任意 r > 0 都稳定。显式与隐式的这种“省算力但不稳”与“费算力但稳健”的张力，贯穿整个数值偏微分方程的学习。

稳定性为什么是核心问题

稳定性分析回答的是一个非常实际的问题：当时间步长和空间步长取定时，舍入误差和初始扰动会不会被放大？ 数值计算中不可避免存在截断误差与浮点舍入误差，如果格式把这些微小误差逐层放大，即使理论解光滑有界，计算出的结果也会在若干步后变成无意义的振荡甚至溢出。反之，一个稳定的格式能保证误差被控制在一定范围内，使离散解收敛到真解。

因此，稳定性不是锦上添花的理论装饰，而是决定一次数值实验“能不能用”的前置条件。工程实践中，先判断稳定性、再选步长、最后才谈精度，是更可靠的顺序。

本课程的整体框架

围绕“如何判断并保证稳定性”，课程将依次展开：稳定性问题的数学提法（误差放大与范数有界）；显式格式的稳定性条件推导，重点得到 FTCS 的 r ≤ 1/2 限制；隐式格式的无条件稳定性论证；von Neumann（傅里叶）分析方法与放大因子；矩阵特征值视角；以及针对对流—扩散等更复杂方程和二维问题的推广。学习目标是：能独立对一个给定差分格式写出放大因子、判断其稳定区间，并能据此为实际计算选择合适的 Δt 与 Δx。

从一个具体算例看“稳不稳”

设 α = 0.01，Δx = 0.1，则 Δx²/α = 1。若取 Δt = 0.6，则 r = 0.6 > 0.5，显式格式已越过稳定边界。此时放大因子在最高频 θ = π 处为 G = 1 − 4r = −1.4，绝对值大于 1，意味着网格尺度上的锯齿扰动每步被放大 1.4 倍，约 10 步后幅值增长到原来的 1.4¹⁰ ≈ 29 倍，很快淹没真实解。若改用隐式格式，同一组参数下 G = 1/(1+4×0.6) ≈ 0.294，扰动被迅速衰减，结果依然可用。这个对比说明：稳定性条件直接约束了可用的时间步长，而格式类型决定了这一约束是否存在。