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偏微分方程迭代求解器选型

共计 30 章节
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01
课程导入与选型问题定义
迭代求解器选型的核心挑战 · 学习目标 · 整体框架与真实工程场景引入
课程导入选型问题定义
02
偏微分方程离散化回顾
有限差分 · 有限元 · 有限体积离散后的线性系统特征（稀疏性
偏微分方程离散化…有限差分
03
迭代求解器家族概览
定常迭代（Jacobi · Gauss-Seidel · SOR）与非定常Krylov子空间方…
迭代求解器家族概…Jacobi
04
矩阵属性诊断实战
如何从PDE类型 · 网格 · 边界条件快速判断矩阵的对称性
矩阵属性诊断实战PDE
05
定常迭代法深入与选型准则
收敛性分析 · 松弛因子选择 · 适用场景与在現代求解器中的预处理角色
定常迭代法深入选型准则
06
Krylov子空间方法核心原理
投影与极小化残差思想 · CG · GMRES
Krylov子空间方法核心原…
07
对称正定系统首选
CG方法及其变体（PCG）的选型依据 · 收敛界与实战注意事项
对称正定系统首选CG
08
非对称系统主力
GMRES与BiCGSTAB的选型对… · 重启策略 · 内存与收敛性权衡
非对称系统主力GMRES
09
预处理技术总览与选型影响
左/右预处理 · 预处理对谱的改造 · 预处理成本与迭代次数的平衡
预处理技术总览选型影响
10
简单预处理实战
Jacobi · SSOR · ILU(0)的构造
简单预处理实战Jacobi
11
高级预处理与代数多重网格
AMG作为预处理的选型场景 · 与Krylov方法组合策略 · 复杂系数问题的应对
高级预处理代数多重网格
12
区域分解与并行预处理
加性Schwarz · FETI方法的思想及其在大规模PDE…
区域分解并行预处理
13
基于PDE物理特征的选型决策树
椭圆型 · 抛物型 · 双曲型方程离散系统对应的求解器与预处…
PDE基于
14
实战案例一
二维泊松方程——从矩阵生成到CG · GMRES · AMG-PCG的选型对比与性能剖析
实战案例一CG
15
实战案例二
对流扩散方程——非对称性增强下的GM… · BiCGSTAB与ILU预处理选型实…
实战案例二GM
16
实战案例三
变系数与各向异性问题——AMG · 区域分解预处理在复杂系数下的选型与调…
实战案例三AMG
17
实战案例四
三维大规模问题——内存受限与并行环境…
实战案例四三维大规模问题
18
实战案例五
时间依赖问题——隐式时间步进中线性系…
实战案例五时间依赖问题
19
实战案例六
非线性PDE线性化系统——Newto…
实战案例六PDE
20
收敛性诊断与调试
残差曲线分析 · 停滞原因排查 · 预处理失效识别与选型调整方法
收敛性诊断调试
21
性能基准与选型实验设计
如何设计公平的对比实验 · 指标选取（迭代次数 · 时间
性能基准选型实验设计
22
选型自动化与决策支持
基于矩阵特征与问题类型的规则引擎 · 机器学习辅助选型的可行性与局限
选型自动化决策支持
23
软件库与工具链选型
PETSc · Trilinos · hypre等库中求解器与预处理器的接…
软件库工具链选型
24
并行计算环境下的选型考量
通信开销 · 可扩展性 · GPU加速对迭代求解器选型的影响
并行计算环境下的…通信开销
25
鲁棒性与容错选型
针对病态问题 · 奇异系统 · 多物理场耦合系统的求解器与预处理鲁棒…
鲁棒性容错选型
26
多物理场耦合系统选型
块预处理 · 物理场分裂方法 · 耦合Krylov方法的选择与实战
多物理场耦合系统…块预处理
27
选型中的权衡与反模式
常见选型错误案例 · 过度预处理 · 方法误用及规避策略
选型权衡
28
综合实战项目
针对一个真实工程PDE问题 · 完成从问题分析 · 矩阵诊断
综合实战项目PDE
29
前沿迭代方法与选型趋势
随机迭代 · 低秩预处理 · 自适应方法等新兴技术对选型实践的影响
前沿迭代方法选型趋势
30
课程总结与选型能力自检
核心决策要点回顾 · 选型检查清单 · 持续学习资源与实战能力评估
课程总结选型能力自检