2. 一维单元类型与自由度定义

在有限元组装之前，必须先回答一个基础问题：每个单元究竟携带哪些自由度？自由度（Degree of Freedom, DOF）是节点上被独立求解的未知量，它决定了单元刚度矩阵的阶数、节点位移向量的长度，以及组装时各单元矩阵在总刚度矩阵中的“落位”方式。本节围绕一维问题中最常见的四类单元——杆单元、梁单元、弹簧单元和一般一维线性单元——说明它们的自由度约定、节点位移向量形式与位移插值函数，为后续组装建立统一的符号基础。

一、统一约定：局部坐标系与自由度编号

为避免正负号混乱，本节统一采用如下约定：单元局部坐标 x 从节点 1 指向节点 2，轴向位移 u 沿 x 正方向为正；横向位移 v 沿局部 y 正方向为正；转角 θ 以逆时针为正（右手法则，绕 z 轴）。所有单元的自由度按“先节点 1、后节点 2，节点内按 u、v、θ 顺序”排列，这一编号规则将直接决定单元矩阵元素与总矩阵行列的对应关系。

二、四类一维单元的自由度与插值

杆单元（桁架单元）。只承受轴力，每个节点仅 1 个自由度 u，单元共 2 个自由度，节点位移向量为 d^e = [u₁, u₂]^T。采用两节点线性插值：

u(x) = N1·u1 + N2·u2
N1 = 1 - x/L,  N2 = x/L   (0 ≤ x ≤ L)

其应变 ε = du/dx 为常数，故杆单元是常应变单元，刚度矩阵为 2×2，元素只含 EA/L。

梁单元（Euler-Bernoulli 梁）。承受横向弯曲，每个节点有 2 个自由度：横向位移 v 与转角 θ，单元共 4 个自由度，节点位移向量为 d^e = [v₁, θ₁, v₂, θ₂]^T。由于挠度需满足四次微分方程，插值必须用三次 Hermite 多项式，才能同时匹配两端的位移与转角：

v(x) = H1·v1 + H2·θ1 + H3·v2 + H4·θ2
H1 = 1 - 3ξ² + 2ξ³      H2 = L(ξ - 2ξ² + ξ³)
H3 = 3ξ² - 2ξ³          H4 = L(-ξ² + ξ³),   ξ = x/L

注意 H₂、H₄ 带长度量纲因子 L，这是转角自由度与位移自由度量纲不同所致，也是梁单元刚度矩阵中出现 L²、L³ 项的根源。

弹簧单元。用于模拟弹性连接、支座刚度或构件间的弹性约束。其自由度数取决于使用方式：若只连接两个平动自由度，则为 2 自由度，d^e = [u₁, u₂]^T，刚度矩阵直接为 k·[[1, −1], [−1, 1]]；若一端接地，则退化为 1 自由度。弹簧单元没有插值函数概念，其“单元矩阵”由物理刚度直接给出，因此常被用作组装教学中最简明的示例。

一般一维线性单元。当问题为轴向拉压、热传导或一般二阶方程时，可采用任意节点数 n 的线性（或高次）单元，每个节点 1 个自由度，共 n 个自由度。以两节点线性单元为例，形函数与杆单元一致；若取三节点二次单元，则 d^e = [u₁, u₂, u₃]^T，形函数为 N₁ = ξ(ξ−1)/2、N₂ = 1−ξ²、N₃ = ξ(ξ+1)/2（ξ ∈ [−1, 1]），应变沿单元线性变化，精度高于常应变单元。

三、自由度约定对组装的影响

自由度定义并非纯理论约定，它直接决定组装代码的写法。设结构共 N 个节点，若全部采用杆单元，则总自由度数 = N；若混用梁单元，则每个节点贡献 2 个自由度，总自由度数 = 2N。组装时，单元第 i 个局部自由度必须映射到全局自由度编号 g(i)，再执行 K_gg += k_ij。以两节点杆单元为例，若节点 1、2 的全局编号分别为 a、b，则映射为 g = [a, b]，四个元素分别累加到 (a,a)、(a,b)、(b,a)、(b,b) 位置。若同一节点同时连接杆单元与梁单元，则必须明确该节点是只取 u，还是同时取 u、v、θ，否则会出现自由度“错位”——这是初学者组装出错最常见的原因之一。

四、一个可手算的对照示例

取一根长度 L = 1 m 的水平构件，E = 200 GPa，截面 A = 1×10⁻⁴ m²，I = 8.33×10⁻¹⁰ m⁴（示例参数，仅用于说明量级）。若按杆单元建模，EA/L = 2×10⁷ N/m，单元刚度矩阵为 2×2；若按梁单元建模，则需计算 4×4 矩阵，其中弯曲项量级约为 EI/L³ = 1.67×10² N/m，与轴向刚度相差五个数量级。这一对比说明：自由度类型不同，矩阵元素的物理量纲与数值量级完全不同，组装时不可混用，也解释了为什么梁单元矩阵中必须保留 L 的幂次因子。

五、插值函数的选取原则

插值函数的选择由单元的微分方程阶次决定：杆单元与一般线性单元对应二阶方程，采用 C⁰ 连续线性（或二次）插值即可；梁单元对应四阶弯曲方程，必须采用 C¹ 连续的三次 Hermite 插值，才能保证相邻单元交界处挠度与转角同时连续。若对梁误用线性插值，交界处转角将不连续，弯矩计算结果会出现明显偏差。因此，“先定自由度、再定插值阶次”是单元定义阶段必须遵守的顺序。

综上，杆单元 2 自由度、梁单元 4 自由度、弹簧单元 2 自由度（可退化）、一般线性单元 n 自由度，构成了后续单元矩阵组装的全部“零件规格”。下一阶段将这些单元矩阵按全局自由度映射累加，即可得到总刚度矩阵。