3. 一维稳态导热解析与数值对照

一维稳态导热是数值传热学中最适合“先解析、后数值、再对照”的入门问题。它的价值不在于公式本身有多复杂，而在于它提供了一个可以精确检验离散格式、边界条件处理和收敛判据的基准。本节围绕平壁与圆筒壁两类典型几何，梳理解析解的构造方式、热阻概念的物理含义，并给出数值离散结果与解析解逐点对比的具体做法。

平壁：线性温度分布与串联热阻

设一块厚度为 L、导热系数为 λ 的无限大平壁，两侧表面分别维持恒定温度 T₁ 与 T₂（T₁ > T₂），无内热源，物性为常数。取 x 轴垂直于壁面、由高温侧指向低温侧，则控制方程与边界条件为：

d/dx(λ dT/dx) = 0,   0 < x < L
T(0) = T₁,  T(L) = T₂

积分两次得通解 T(x) = C₁x + C₂，代入边界条件得到解析解：

T(x) = T₁ - (T₁ - T₂)·x/L
q = λ(T₁ - T₂)/L = (T₁ - T₂)/(L/λ)

温度沿厚度方向严格线性变化，热流密度处处相等。把 L/λ 记为平壁的导热热阻 R_λ，则 q = ΔT/R_λ，与电路中的欧姆定律形式完全一致。若平壁由多层材料叠合而成，各层热阻串联相加，界面温度由热流密度逐层回代求得。这一“热流—温差—热阻”的对应关系，是后续把复杂结构折算为热阻网络的基础。

圆筒壁：对数温度分布与曲率效应

对内外半径分别为 r₁、r₂，内外表面温度为 T₁、T₂ 的长圆筒壁，取径向坐标 r，控制方程为：

(1/r)·d/dr(r·λ·dT/dr) = 0
T(r₁) = T₁,  T(r₂) = T₂

积分后得到 T(r) = C₁·ln r + C₂，代入边界条件：

T(r) = T₁ - (T₁ - T₂)·ln(r/r₁)/ln(r₂/r₁)
q_L = 2πλ(T₁ - T₂)/ln(r₂/r₁)          （单位长度热流量）
R_L = ln(r₂/r₁)/(2πλ)                  （单位长度导热热阻）

与平壁的关键差别在于：圆筒壁温度随半径呈对数分布而非线性，且热流密度 q(r) = q_L/(2πr) 随半径增大而减小——因为同一热量要穿过越来越大的圆周面积。若按单位长度热阻计算，圆筒壁同样满足 q_L = ΔT/R_L，多层圆筒壁也可按串联热阻处理。教学中常出现的错误是直接套用平壁公式 λΔT/δ 计算圆筒壁，当 r₂/r₁ 接近 1 时误差尚小，比值增大后偏差迅速扩大，这一点在数值对照中会清晰暴露。

数值离散：从控制方程到代数方程组

以平壁为例，将 [0, L] 均分为 N 个控制容积，节点位于容积中心，步长 Δx = L/N。对内部节点 i 在控制容积上积分控制方程，得：

λ(T_{i+1} - 2T_i + T_{i-1})/Δx² = 0
即  T_i = (T_{i+1} + T_{i-1})/2

边界采用“虚拟节点”或“半容积”处理：高温侧 T₁ 为第一类边界，直接给定；低温侧同理。组装后得到一个三对角线性方程组，可用追赶法（TDMA）求解。由于平壁解析解是线性的，而中心差分对线性函数是精确的，因此无论网格多粗，内部节点数值解都应与解析解在舍入误差内一致——这正是检验程序正确性的“零误差基准”。若出现明显偏差，问题一定出在边界处理、系数组装或求解器上，而非格式精度。

圆筒壁的离散需要多一步处理。在径向控制容积上积分：

r_e·λ(T_{i+1} - T_i)/Δr - r_w·λ(T_i - T_{i-1})/Δr = 0

其中 r_e、r_w 为控制容积东、西界面半径。整理后节点系数不再对称，但方程组仍为三对角。由于解析解含 ln r，中心差分存在截断误差，网格越粗误差越大；加密网格时误差应按二阶速率下降，这为收敛性验证提供了定量依据。

对照验证的具体做法

建议按以下流程完成一次可复现的对照实验。取平壁示例参数：L = 0.1 m，λ = 45 W/(m·K)（典型碳钢量级），T₁ = 400 K，T₂ = 300 K，N = 10。解析解给出 q = 45000 W/m²，节点温度从 400 K 线性降至 300 K，步长 10 K。数值解应逐点吻合，最大偏差应在 10⁻¹⁰ K 量级（双精度舍入）。

圆筒壁示例参数：r₁ = 0.02 m，r₂ = 0.06 m，λ = 45 W/(m·K)，T₁ = 400 K，T₂ = 300 K。解析解给出 q_L = 2π×45×100/ln3 ≈ 25720 W/m。分别取 N = 10、20、40 计算节点温度，与解析式 T(r) = 400 - 100·ln(r/0.02)/ln3 逐点比较，记录最大绝对误差。若误差随 N 加倍约缩小为 1/4，说明离散格式与实现均正确；若误差不降或下降缓慢，应检查界面半径取值是否用了算术平均而非几何位置、边界半容积是否处理正确。

把上述两组对照做成一张误差表，是本节最实用的交付物：表中列出网格数、节点位置、解析温度、数值温度、绝对误差与相对误差，并附上热流密度的解析值与数值积分值。这张表既能证明程序正确，也能直观展示平壁“零截断误差”与圆筒壁“二阶收敛”的差别，为后续多维问题的验证建立方法学基础。