2. 物理量、单位制与量纲的基本概念
在多物理场分析中，我们面对的从来不是抽象的数字，而是带有物理意义的量：温度 300 K、压力 1.2 MPa、流速 15 m/s、应力 235 MPa。这些量之所以能被比较、代入公式、参与仿真求解，是因为它们背后有一套共同的约定——物理量 = 数值 × 单位，而单位又由若干基本量纲组合而成。理解这套约定，是后续做尺度分析、无量纲化和量纲齐次性检验的前提。
一、基本量纲与导出量纲
量纲（dimension）描述的是物理量的“种类”，与具体单位无关。国际通用的量纲体系中，力学与热学问题最常用的基本量纲有七个：长度 L、质量 M、时间 T、温度 Θ、电流 I、物质的量 N、发光强度 J。多物理场耦合（结构—热—流体—电磁）中，前五个出现频率最高。
由基本量纲通过乘除、幂运算组合出来的量纲称为导出量纲。例如速度是长度除以时间，量纲为 L·T⁻¹；力按牛顿第二定律 F = ma，量纲为 M·L·T⁻²；压力是力除以面积，量纲为 M·L⁻¹·T⁻²；应力与压力同量纲。温度本身是基本量纲 Θ，但温度梯度是 Θ·L⁻¹，热流密度则是 M·T⁻³（即 W/m² 展开后）。这些表达式看起来只是符号游戏，实际上决定了哪些量可以相加、哪些公式必须配系数。
需要特别区分量纲与单位：量纲是抽象的幂次组合，单位是量纲的具体度量标准。速度的量纲恒为 L·T⁻¹，但单位可以是 m/s、km/h、ft/s。同一量纲可以对应多种单位，这正是单位换算存在的根源。
二、SI 单位制与词头
SI 单位制为每个基本量纲指定了基本单位：米（m）、千克（kg）、秒（s）、开尔文（K）、安培（A）、摩尔（mol）、坎德拉（cd）。导出单位由基本单位按量纲关系组合，部分常用组合被赋予专名，如牛顿 N = kg·m/s²、帕斯卡 Pa = N/m²、焦耳 J = N·m、瓦特 W = J/s。专名单位在书写时要注意其量纲展开，否则在跨物理场公式中容易漏项。
工程中大量使用词头表示数量级：k（10³）、M（10⁶）、G（10⁹）、m（10⁻³）、μ（10⁻⁶）、n（10⁻⁹）。换算的关键是词头只作用于数值，不改变量纲。例如 1 MPa = 10⁶ Pa，量纲仍是 M·L⁻¹·T⁻²。常见错误是把 MPa 直接代入以 Pa 为基准的经验公式而不换算，导致结果偏差六个数量级。
三、量纲齐次性原理
量纲齐次性原理指出：任何有物理意义的方程，其两端以及相加各项的量纲必须相同。这条原理有三重实用价值。第一，它是公式正确性的“体检工具”——若推导出的方程两边量纲不一致，方程必然有误。第二，它允许我们在不求解方程的情况下推断未知量的量纲。第三，它是无量纲化的基础：只有量纲一致的项才能相除构造无量纲数（如雷诺数、毕渥数）。
举例检验：一维稳态导热方程 q = −k·dT/dx。右侧 k 的单位 W/(m·K)，dT/dx 的单位 K/m，相乘得 W/m²，即热流密度，与左侧 q 一致，方程齐次。若有人写成 q = −k·T/x，则右侧单位变为 W/m，量纲不符，可立即判定错误。
四、常见参数的单位换算与量纲练习
下面以多物理场中四类高频参数为例，走一遍“读数值—辨单位—换基准—验量纲”的完整过程。以下数值均为教学示例，用于说明换算方法。
温度。温度换算涉及零点偏移，与一般量纲换算不同。示例：将 25 ℃ 换算为 K，得 25 + 273.15 = 298.15 K；若换算温差，则 25 ℃ 的温差等于 25 K，不加 273.15。这是热应力计算中最易出错的地方：材料线膨胀系数 α 的单位是 K⁻¹，代入的必须是温差而非绝对温度。
压力。示例：将 1.2 MPa 换算为 Pa，得 1.2 × 10⁶ Pa；换算为 bar，得 12 bar（1 bar = 10⁵ Pa）。量纲验证：Pa = N/m² = kg/(m·s²)，即 M·L⁻¹·T⁻²，与应力同量纲，因此压力与正应力可以直接相加比较。
流速。示例：将 54 km/h 换算为 m/s，得 54 ÷ 3.6 = 15 m/s。量纲为 L·T⁻¹。若与动力粘度 μ（Pa·s = M·L⁻¹·T⁻¹）和特征长度 L 组合，可构造雷诺数 Re = ρvL/μ，量纲为 (M·L⁻³)(L·T⁻¹)(L)/(M·L⁻¹·T⁻¹) = 1，无量纲，这正是下一阶段无量纲化的入口。
应力。示例：将 235 MPa 换算为 Pa，得 2.35 × 10⁸ Pa。若与弹性模量 E = 210 GPa = 2.1 × 10¹¹ Pa 相除，得应变 1.12 × 10⁻³，量纲为 1。注意 MPa 与 GPa 相差 10³，工程中混用极常见，务必统一到 Pa 再运算。
五、符号运算的夯实要点
量纲分析本质上是符号的幂运算。建议在练习中坚持两条习惯：其一，先写量纲再代数，把每个物理量标注为 [L]、[M]、[T]、[Θ] 的幂次形式，运算时只处理指数；其二，结果必验齐次，任何推导完成后回代一次量纲，成本极低而收益很高。当你能在几秒内判断“这个公式右边是 W/m² 还是 W/m”，就说明符号运算的基础已经扎实，可以顺利进入后续的无量纲数与相似准则学习。