4. 自由振动响应求解

自由振动是系统在没有外部激励、仅靠初始条件激发后产生的运动。对单自由度黏性阻尼系统，其运动方程为 m·ẍ + c·ẋ + k·x = 0，两边除以质量并引入固有频率 ωₙ = √(k/m) 与阻尼比 ζ = c/(2√(km))，可化为标准形式 ẍ + 2ζωₙ·ẋ + ωₙ²·x = 0。求解自由振动响应的核心，就是根据 ζ 的取值确定特征根形态，再代入初始位移 x₀ 与初始速度 v₀ 定出待定系数。本节统一约定：位移向下为正、速度向下为正，初始条件写作 x(0)=x₀、ẋ(0)=v₀。

特征方程为 s² + 2ζωₙ·s + ωₙ² = 0，其根为 s₁,₂ = -ζωₙ ± ωₙ√(ζ²-1)。判别式 ζ²-1 的符号直接决定根是共轭复根、重根还是两个实根，从而把自由振动分成三种本质不同的响应形态。下图给出了从参数 ζ 到根分布、再到响应形态的对应关系，以及初始条件在其中的作用位置。

一、欠阻尼（0 < ζ < 1）：衰减振荡

此时根为一对共轭复根，系统以阻尼固有频率 ω_d = ωₙ√(1−ζ²) 振荡，振幅按 e^(−ζωₙt) 包络衰减。通解为 x(t) = e^(−ζωₙt)(A·cos ω_d t + B·sin ω_d t)。代入初始条件可得 A = x₀，B = (v₀ + ζωₙx₀)/ω_d，于是

x(t) = e^(−ζωₙt) · [ x₀·cos(ω_d t) + (v₀ + ζωₙx₀)/ω_d · sin(ω_d t) ]

也可写成单一余弦形式 x(t) = X·e^(−ζωₙt)·cos(ω_d t − φ)，其中 X = √(x₀² + B²)，φ = arctan(B/x₀)。这里 X 与 φ 完全由初始条件决定，而衰减速率 ζωₙ 与振荡频率 ω_d 由系统参数决定——这正是“初始条件影响幅值相位、系统参数决定响应类型”的体现。

工程上常用相邻同向峰值之比衡量衰减快慢，即对数衰减率 δ = ln(xₙ/xₙ₊₁) = 2πζ/√(1−ζ²)。当 ζ 较小时可近似为 δ ≈ 2πζ，因此只要从实测波形上量出相邻峰值比，就能反推阻尼比，这是振动测试中估计阻尼的常用手段。

二、临界阻尼（ζ = 1）：最快无振荡返回

判别式为零，特征根为二重实根 s = −ωₙ。由于重根，通解需增加 t·e^(−ωₙt) 项：x(t) = (C₁ + C₂t)e^(−ωₙt)。代入初始条件得 C₁ = x₀，C₂ = v₀ + ωₙx₀，即

x(t) = [ x₀ + (v₀ + ωₙx₀)·t ] · e^(−ωₙt)

临界阻尼是“不产生振荡”条件下返回平衡位置最快的状态。若 v₀ = 0，响应为 x₀(1 + ωₙt)e^(−ωₙt)，单调衰减且不过零；若 v₀ 为较大的负值（与 x₀ 反向），则 C₂ 可能为负，响应会先穿过零点再单调趋近于零，但仍不振荡。这一细节说明初始速度不仅改变幅值，还可能改变响应是否穿越平衡位置。

三、过阻尼（ζ > 1）：两个实根的叠加

此时 s₁,₂ = −ζωₙ ± ωₙ√(ζ²−1) 为两个不相等的负实根，通解为 x(t) = C₁e^(s₁t) + C₂e^(s₂t)。由初始条件解线性方程组：

C₁ + C₂ = x₀
s₁C₁ + s₂C₂ = v₀
解得：C₁ = (v₀ − s₂x₀)/(s₁ − s₂)，C₂ = (s₁x₀ − v₀)/(s₁ − s₂)

过阻尼响应是两个衰减指数项的叠加，整体单调（或至多一次变号）地趋于零，不会出现振荡。由于其中一个根 s₂ 绝对值较小、衰减很慢，长时间后响应主要由 C₂e^(s₂t) 主导，表现为“拖尾”式的缓慢回归。因此过阻尼系统虽然稳定、无超调，但响应速度明显慢于临界阻尼，在需要快速定位的场合（如精密仪表的阻尼器、伺服机构）通常把 ζ 设计在 0.6～0.8 附近，兼顾快速性与超调量。

四、初始条件影响的定量对比

为便于比较，取 ωₙ = 10 rad/s、x₀ = 0.01 m，分别考察 v₀ = 0 与 v₀ = −0.2 m/s 两种初始速度（示例参数，用于说明规律）。

从表中可以看出：改变 v₀ 不会把欠阻尼变成过阻尼，也不会消除振荡，它改变的是各模态分量的系数，从而改变幅值、相位、是否过零以及过零次数。真正决定“振不振、快不快”的，是 ζ 与 ωₙ 这两个系统参数。

掌握这三种情形后，就能根据实测的自由振动波形反推系统参数：若波形持续振荡，用相邻峰值比求 ζ；若单调无振荡，则结合响应快慢判断是临界还是过阻尼，并可由两个衰减时间常数估计 s₁、s₂。这为后续的响应计算与参数辨识打下基础。