3. 局部误差与全局误差

在自适应步长积分中，我们真正想控制的并不是“每一步走多大”，而是“最终解有多准”。但最终解的误差无法直接测量，因为它依赖于未知的精确解。于是数值方法退而求其次：用局部截断误差来估计每一步引入的误差，再通过步长调整把它压到容差之下。理解局部误差与全局误差的定义、量级关系和传播方式，是理解自适应步长为何有效、以及为何有时会失效的关键。

一、局部截断误差：单步的“先天缺陷”

局部截断误差（Local Truncation Error, LTE）的定义是：假设在第 n 步的起点处数值解恰好等于精确解，即 y_n = y(t_n)，然后用数值方法走一步到 t_n+1，所得结果与精确解 y(t_n+1) 之差。它衡量的是“单步公式本身”的近似能力，与之前累积的历史误差无关。

对 p 阶方法，局部截断误差的主项为：

LTE = C · h^(p+1) · y^(p+1)(ξ) + O(h^(p+2))

其中 h 是步长，C 是与方法相关的常数，y^(p+1) 是解的第 p+1 阶导数。注意指数是 p+1：四阶 Runge–Kutta 方法的单步局部误差是 O(h⁵)。这解释了为什么减小步长对局部精度极为“划算”——步长减半，局部误差约降为 1/32。

实际计算中我们无法得到 y^(p+1)，因此常用嵌入法（如 RKF45、Dormand–Prince）同时算出 p 阶和 p+1 阶两个解，用两者之差作为局部误差的估计量。这个差值不是真实 LTE，而是它的可控代理，这正是自适应步长的“眼睛”。

二、全局误差：所有单步误差的累积与放大

全局误差（Global Error）定义为：在终点 t_N 处，数值解 y_N 与精确解 y(t_N) 之差。它包含了从第一步到最后一步所有局部误差的累积，并且这些误差还会被微分方程自身的动力学放大或衰减。

一个经典结论是：若每步局部误差为 O(h^p+1)，共走 N ≈ T/h 步，则全局误差为 O(h^p)。也就是说，全局误差的阶比局部误差低一阶。四阶 RK 方法局部误差 O(h⁵)，全局误差却是 O(h⁴)。步长减半，全局误差约降为 1/16，而不是 1/32。

更精细地看，误差传播受方程右端函数 f 的 Lipschitz 常数 L 影响。粗略地有：

|全局误差| ≤ (e^(L·T) − 1) / L · max|LTE| / h

当 L > 0（如刚性方程、不稳定系统）时，指数因子 e^LT 会把早期的小误差急剧放大。这就是“局部误差小”不等于“全局误差小”的根本原因：误差不仅会累积，还会被系统动力学放大。

三、两者关系：为什么控制局部误差能约束全局误差

从上面的关系可以看出三点：

• 量级关系：全局误差 ≈ 局部误差 / h 再乘以放大因子。因此把每步局部误差控制在 tol 附近，全局误差大致被约束在 tol·T/h 的量级（在 L 较小时）。
• 阶的关系：局部误差 O(h^p+1) 决定了全局误差 O(h^p)，所以自适应控制的目标量必须是局部误差，而不是直接控制全局误差——后者不可测。
• 放大关系：当 L·T 较大时，即使每步局部误差都合格，全局误差仍可能远超预期。此时需要更严格的容差，或改用能处理刚性的隐式方法。

这解释了自适应步长的核心逻辑：它并不直接保证全局精度，而是通过“每步局部误差 ≤ 容差”这一可执行的代理条件，间接地把全局误差压到可接受范围。容差 tol 是用户对“每步允许误差”的承诺，而全局误差是这个承诺经过累积与放大后的实际兑现结果。

四、一个可手算的示例

考虑简单方程 y′ = −λy，y(0)=1，取 λ=1，积分到 T=1，精确解 y(1)=e⁻¹≈0.367879。用四阶 RK，设步长 h=0.1，共 10 步。该方法的局部误差主项系数约为 C≈1/120（示例近似值），则单步 LTE ≈ (1/120)·h⁵·|y⁽⁵⁾|。由于 y⁽⁵⁾=−y，量级约 0.37，故 LTE ≈ (1/120)·10⁻⁵·0.37 ≈ 3×10⁻⁸。10 步累积的全局误差量级约 3×10⁻⁷，与 O(h⁴) 的预期一致。若把 h 减到 0.05，全局误差约降为原来的 1/16。这些数字是用于说明量级关系的教学估算，并非实际运行输出。

五、工程实践中的判断要点

在实际使用自适应积分器（如 SciPy 的 solve_ivp 配 RK45，或 MATLAB 的 ode45）时，rtol 与 atol 控制的是局部误差估计，而非全局误差。常见做法与判断依据如下：

• 先用默认容差（如 rtol=1e-3、atol=1e-6）跑一遍，观察步数与被拒步数；被拒步数占比过高说明容差过严或方程刚性。
• 把 rtol 缩小 10 倍再跑，若结果变化远大于容差缩小比例，说明误差被动力学放大，需警惕全局误差。
• 对守恒系统（如能量守恒的力学问题），用守恒量漂移作为全局误差的独立旁证，比单看局部误差估计更可靠。
• 刚性方程不要一味收紧容差，应换用 BDF、Radau 等隐式方法，否则步长会被稳定性而非精度压得极短。