2. 动力系统建模与数值方法回顾
在讨论数值精度之前，必须先厘清一个基本事实：我们真正计算的往往不是原动力系统本身，而是一个被离散化后的近似系统。连续系统由常微分方程（ODE）描述，例如 dy/dt = f(t, y)，给定初值 y(t₀)=y₀；而计算机只能处理有限步长上的代数运算，于是我们把时间轴切成 t₀, t₁, …, tₙ，步长 h = tₙ₊₁ − tₙ，把导数替换为差商，得到离散动力系统 yₙ₊₁ = Φ(yₙ, h)。数值解法的全部差异，就体现在这个映射 Φ 如何构造、以及它与真实流映射的接近程度。
三类典型离散化方式
显式欧拉法是最直接的构造：用前向差商近似导数，yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。它只用到当前点的信息，实现简单、每步计算量最小，但精度仅一阶，且对刚性方程或长时间积分极不稳定。以 y' = −λy（λ>0）为例，欧拉法给出 yₙ = (1 − λh)ⁿ y₀，只有当 |1 − λh| ≤ 1 即 h ≤ 2/λ 时才不发散——步长稍大，数值解就会振荡放大，而真实解是单调衰减的。
龙格-库塔法（RK）通过在一步内多次采样斜率并加权组合来提高阶数。经典四阶 RK（RK4）每步计算四次 f：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h/2, yₙ + h·k₁/2)，k₃ = f(tₙ + h/2, yₙ + h·k₂/2)，k₄ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₃)，再取 yₙ₊₁ = yₙ + h(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6。它的局部误差为 O(h⁵)、全局误差为 O(h⁴)，在光滑问题上性价比很高，是通用积分的默认选择。但 RK 方法不保持系统的几何结构，长时间积分哈密顿系统时能量会缓慢漂移。
辛算法（symplectic integrator）针对哈密顿系统设计，其离散映射保持辛结构，从而在长时间积分中能量误差有界振荡而非单调漂移。最简单的辛欧拉（半隐式欧拉）对 q' = p, p' = −∂V/∂q 交替更新：先更新 pₙ₊₁ = pₙ − h·V'(qₙ)，再用新动量更新 qₙ₊₁ = qₙ + h·pₙ₊₁。它只有一阶精度，但结构保持性使其在轨道积分、分子动力学等场景中远优于同阶甚至更高阶的非辛方法。更高阶的 Störmer-Verlet（蛙跳）格式为二阶辛算法，是这类问题的常用基线。
局部截断误差与全局误差：两种“欠账”
把数值解代入精确方程，会留下一个残差，这就是局部截断误差（LTE）。严格地说，设真实解为 y(t)，则 τₙ = [y(tₙ₊₁) − Φ(y(tₙ), h)] / h，它衡量“假设当前点完全准确时，走一步会引入多大偏差”。对显式欧拉法，泰勒展开给出 y(tₙ₊₁) = y(tₙ) + h·y'(tₙ) + (h²/2)y''(ξ)，而欧拉法只保留到一阶项，故 τₙ = (h/2)y''(ξ) = O(h)，方法是一阶的。RK4 的局部误差为 O(h⁵)，故为四阶方法。一般地，若 τₙ = O(hᵖ)，则称方法为 p 阶。
全局误差 Eₙ = y(tₙ) − yₙ 才是我们真正关心的量。它由两部分构成：每一步新引入的局部误差，以及此前误差被后续演化放大或衰减的传播效应。在 f 满足利普希茨条件（常数 L）时，可以证明 |Eₙ| ≤ (e^{LT} − 1)·max|τ|/L，其中 T 为积分总时长。由于总步数 N = T/h，局部误差 O(hᵖ⁺¹) 累积 N 步后得到全局误差 O(hᵖ)——全局误差阶数总比局部误差低一阶，这是精度分析中最容易被记错的关系。
用数值实验确认阶数
理论阶数必须能被实验验证，否则无法判断实现是否正确。以 y' = −2y, y(0)=1 在 t∈[0,1] 上积分为例，精确解为 y(1)=e^{−2}≈0.135335。取 h = 0.1, 0.05, 0.025, 0.0125，分别用欧拉法和 RK4 计算终点误差，再计算相邻两次的误差比 E(h)/E(h/2)：欧拉法应接近 2（一阶），RK4 应接近 16（四阶）。若实测比值明显偏离，通常意味着实现有误（如 RK4 的系数写错、时间点取错）或步长尚未进入渐近区。这一“步长减半、看误差比”的做法，是后续所有精度验证的基本手段。