4. 二维线性系统的平衡点分类与相平面分析

考虑二维线性自治系统

ẋ = Ax，x ∈ ℝ²，A 为 2×2 实常数矩阵。

平衡点由 Ax = 0 决定。当 det(A) ≠ 0 时，原点 x = 0 是唯一平衡点；当 det(A) = 0 时，平衡点构成一条直线或整个平面，属于非孤立平衡点，需要单独讨论。本节聚焦最常见、也最具分析价值的孤立平衡点情形，即 det(A) ≠ 0。

判断平衡点类型与稳定性的核心工具是矩阵 A 的特征值。设特征多项式为

det(λI − A) = λ² − (tr A)λ + det A = 0

记迹 τ = tr A，行列式 Δ = det A，则特征值为

λ₁,₂ = (τ ± √(τ² − 4Δ)) / 2

判别式 D = τ² − 4Δ 的符号决定特征值是实根还是共轭复根，而 τ 与 Δ 的符号决定实部的正负。由此可以把平衡点分为四类：结点、鞍点、焦点、中心。

四类平衡点的判别与相图特征

结点（Node）。当 D ≥ 0 且 Δ > 0 时，两特征值为同号实数。若 τ < 0，两特征值均为负，所有轨线最终趋于原点，为稳定结点；若 τ > 0，两特征值均为正，轨线远离原点，为不稳定结点。相图上，轨线沿特征向量方向进入或离开原点，慢特征方向（|λ| 较小者）在长时间后主导轨线走向，因此轨线在原点附近与慢特征向量相切。

鞍点（Saddle）。当 Δ < 0 时，两特征值为异号实数，原点必为鞍点，且总是不稳定的。相图上存在两条稳定流形（沿负特征值对应的特征向量）和两条不稳定流形（沿正特征值对应的特征向量），其余轨线先靠近再远离，形似马鞍。鞍点是结构稳定的，小扰动不会改变其类型。

焦点（Focus）。当 D < 0 且 τ ≠ 0 时，特征值为共轭复数 α ± iβ，β ≠ 0。轨线呈螺旋线。τ < 0 时 α < 0，螺旋收敛，为稳定焦点；τ > 0 时螺旋发散，为不稳定焦点。旋转方向由矩阵元素决定，可用一点处的速度向量判断。

中心（Center）。当 D < 0 且 τ = 0 时，特征值为纯虚数 ±iβ，轨线是围绕原点的闭合椭圆族，原点为稳定但非渐近稳定（Lyapunov 稳定）。中心是临界情形，任意小的阻尼扰动都会使其变为焦点，因此在实际系统中很少精确出现。

相平面分析的实操流程

以一个具体例子走完整个分析过程。设

A = [[-1, 3],
     [-2, 4]]

第一步，求平衡点：det(A) = (−1)(4) − (3)(−2) = −4 + 6 = 2 ≠ 0，故原点为唯一平衡点。

第二步，算不变量：τ = −1 + 4 = 3，Δ = 2。判别式 D = τ² − 4Δ = 9 − 8 = 1 > 0，特征值为实根。

第三步，求特征值：λ = (3 ± 1)/2，得 λ₁ = 2，λ₂ = 1。两特征值同为正，Δ > 0，故为不稳定结点。

第四步，求特征向量以确定相图骨架。对 λ₁ = 2，解 (A − 2I)v = 0：

[-3, 3] [v1]   [0]
[-2, 2] [v2] = [0]   ⇒  v1 = v2，取 v⁽¹⁾ = (1, 1)ᵀ

对 λ₂ = 1，解 (A − I)v = 0：

[-2, 3] [v1]   [0]
[-2, 3] [v2] = [0]   ⇒  2v1 = 3v2，取 v⁽²⁾ = (3, 2)ᵀ

第五步，绘制相图并判读。在相平面上画出两条过原点的直线，方向分别为 (1,1) 和 (3,2)。由于 λ₁ = 2 > λ₂ = 1，沿 (1,1) 方向的轨线增长更快，是快特征方向；沿 (3,2) 方向增长较慢，是慢特征方向。除恰好落在慢特征直线上的轨线外，其余轨线在远离原点时都会逐渐转向快特征方向，即相图上轨线在远处与 (1,1) 直线相切。这与稳定结点“近处切慢方向、远处切快方向”的规律互为镜像。

若想验证某条具体轨线，可选取初值 x(0) = (1, 0)ᵀ，将其按特征向量分解：x(0) = c₁(1,1)ᵀ + c₂(3,2)ᵀ，解得 c₁ = −2，c₂ = 1，于是

x(t) = −2e^{2t}(1,1)ᵀ + e^{t}(3,2)ᵀ

当 t → −∞ 时，e^{t} 项相对 e^{2t} 项占优，轨线沿慢方向 (3,2) 逼近原点；当 t → +∞ 时，e^{2t} 项占优，轨线沿快方向 (1,1) 远离。这一解析结果与相图判读完全一致，可作为绘图正确性的校验。

稳定性判据汇总与常见误区

此外，当 D = 0 时出现重根，属于结点与焦点的临界情形，称为退化结点（或临界结点）。此时若 A 可对角化，相图为星形结点；若 A 不可对角化（Jordan 块），轨线在原点附近与唯一特征方向相切，称为退化结点。工程上这类临界情形对参数扰动敏感，分析时应结合参数变化趋势判断其“实际归属”。

掌握上述判别流程后，面对任意二维线性系统，只需计算 τ、Δ 两个标量，即可在几秒内确定平衡点类型与稳定性，再借助特征向量补全相图骨架，从而把代数计算与几何直觉对应起来。这正是相平面分析在非线性系统局部线性化、控制参数整定和故障机理分析中被反复使用的原因。