3. 布朗运动与随机积分的直观理解

在确定性微积分里，我们习惯把函数看成光滑曲线，用切线斜率描述变化率，用黎曼和逼近积分。但真实世界中的股价、粒子扩散、热噪声电压，其路径处处不可导、波动极其剧烈。布朗运动正是刻画这类随机涨落的基础模型，而随机积分则是"对噪声求和"的数学工具。本节先建立布朗运动的直观图像，再通过二次变差理解它为何"比光滑函数更粗糙"，最后对比伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分，并引出伊藤公式。

一、布朗运动样本路径的模拟

标准布朗运动 \(W_t\) 满足三个核心性质：\(W_0=0\)；增量独立，即 \(W_t-W_s\) 与过去无关；增量服从正态分布 \(W_t-W_s\sim N(0,t-s)\)。这三条性质直接给出了最朴素的模拟方法——欧拉离散：把时间轴切成步长 \(\Delta t\) 的小格，每一步累加一个独立正态增量。

import numpy as np
np.random.seed(7)
T, N = 1.0, 1000
dt = T / N
dW = np.random.normal(0.0, np.sqrt(dt), N)   # 增量标准差为 sqrt(dt)
W = np.concatenate([[0.0], np.cumsum(dW)])   # 路径在网格点上的取值
# W 长度 N+1，对应 t = 0, dt, 2dt, ..., T

注意增量的标准差是 \(\sqrt{\Delta t}\) 而不是 \(\Delta t\)，这是布朗运动区别于普通累加的关键。若取 \(\Delta t=0.001\)，则每步标准差约 0.0316。把步长从 0.01 缩小到 0.001，路径的"锯齿"会变得更密，但整体振幅量级不变——这正是分形自相似性的体现。实际观察时，可以画多条路径叠加：它们都从原点出发，随时间呈 \(\sqrt{t}\) 量级的扇形扩散，绝大多数落在 \(\pm 2\sqrt{t}\) 带内，这是判断模拟是否合理的直观依据。

二、二次变差：路径粗糙程度的度量

对普通可微函数，分割加细时 \(\sum (\Delta f)^2 \to 0\)。但布朗运动不同：定义二次变差

\([W]_t=\lim_{\|\Pi\|\to 0}\sum_{i}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2 = t\)

也就是说，无论怎么分割，平方增量之和都收敛到时间长度 \(t\)，而不是零。这个结论可以这样直观理解：每个增量平方的期望是 \(\Delta t\)，共 \(N=T/\Delta t\) 段，期望总和恰为 \(T\)；而方差随分割加细趋于零，故依概率收敛到 \(T\)。二次变差非零，意味着布朗路径的"总波动能量"随时间线性累积，它是路径不可微、无限变差的定量标志。

这一性质在数值上极易验证：用上面的模拟代码计算 np.sum(dW**2)，结果应接近 \(T=1\)。若你误把增量标准差写成 \(\Delta t\)，平方和会变成 \(T\Delta t\) 量级，明显偏离 1，这就是一个很好的自检点。二次变差还带来一条实用法则：\((dW_t)^2 = dt\)，它将在伊藤公式中反复出现。

三、伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分

考虑积分 \(\int_0^T f(W_t)\,dW_t\)。普通黎曼和要在每个小区间上取一个求值点，而取左端点还是中点，会得到不同的极限，这正是两种随机积分的分歧所在。

• 伊藤积分：取左端点 \(t_i\)，即 \(\sum f(W_{t_i})(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})\)。由于 \(f(W_{t_i})\) 只依赖区间起点之前的信息，与当前增量独立，期望为零，因此伊藤积分是鞅，非常适合金融定价等"不可利用未来信息"的场景。
• 斯特拉托诺维奇积分：取中点，即 \(\sum f(W_{(t_i+t_{i+1})/2})(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})\)。它保留了普通微积分的链式法则，适合物理建模，尤其是噪声具有实际相关时间的情形。

两者相差一个修正项。对 \(f(W)=W\) 这个最简单的例子，可以严格算出：伊藤积分 \(\int_0^T W\,dW=\tfrac12 W_T^2-\tfrac12 T\)，而斯特拉托诺维奇积分等于 \(\tfrac12 W_T^2\)。差额恰为 \(\tfrac12 T\)，正是二次变差贡献的"额外漂移"。一般地，若 \(f\) 光滑，两种积分满足

\(\int_0^T f(W)\,dW \;(\text{Strat}) = \int_0^T f(W)\,dW \;(\text{It\^o}) + \tfrac12\int_0^T f'(W)\,dW\)

数值上，用同一组增量分别按左端点和中点求和，就能看到两条累加曲线随 \(N\) 增大而稳定分离，差值趋近 \(\tfrac12 T\)。这个实验比任何公式推导都更能让人记住"两种积分不是记号差异，而是数值不同"。

四、伊藤公式初步

普通链式法则 \(df(W)=f'(W)\,dW\) 在布朗运动下失效，因为泰勒展开的二阶项不能忽略：\((dW)^2=dt\)。把 \(f(t,W_t)\) 展开到二阶并代入二次变差法则，得到伊藤公式：

\(df(t,W_t)=\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial W^2}\right)dt+\frac{\partial f}{\partial W}\,dW_t\)

与普通微积分相比，多出的 \(\tfrac12 f''\,dt\) 项就是二次变差的直接后果。用它重算 \(f(W)=W^2\)：\(d(W^2)=2W\,dW+dt\)，积分后得 \(W_T^2=2\int_0^T W\,dW+T\)，即 \(\int_0^T W\,dW=\tfrac12 W_T^2-\tfrac12 T\)，与前面的结果完全一致。这说明伊藤公式与伊藤积分定义是自洽的。