4. 简单随机抽样方案设计
简单随机抽样（Simple Random Sampling，SRS）是概率抽样的基准形式：从容量为 N 的总体中，以等概率方式抽取 n 个单元，使每一个可能的样本组合都有相同的被抽中机会。它之所以被称为“简单”，不是因为操作随意，而是因为其抽样机制最干净、理论最完备，是理解其他复杂抽样设计（分层、整群、多阶段）的参照系。本节围绕方案设计的关键环节展开：定义与实施步骤、样本量计算、均值与比例估计、方差估计、放回与不放回两种情形，以及设计效应的初步概念。
一、定义与实施步骤
严格地说，简单随机抽样分为两种操作形态：不放回简单随机抽样（SRSWOR）——每个单元最多被抽中一次，是最常用的形式；放回简单随机抽样（SRSWR）——每次抽取后放回，同一单元可能重复入样。两者的估计公式与方差略有差异，后文会专门对比。
实施一个 SRS 方案，通常需要完成以下动作：第一，明确总体与抽样框，即“谁在被抽的范围里”，抽样框必须覆盖总体且无重复、无遗漏；第二，对抽样框中的每个单元赋予唯一编号 1 至 N；第三，确定样本量 n（见下节）；第四，用随机数发生器产生 n 个不重复的随机整数（不放回情形），或产生 n 个可重复的随机整数（放回情形）；第五，按编号抽取对应单元，记录入样名单；第六，对入样单元实施调查或测量，并记录无回答情况。这里的关键是“随机”必须可验证——使用可复现的随机种子、保留随机数记录，是方案可审计的基本要求。
二、样本量计算公式
样本量的确定取决于三个要素：估计精度要求（允许误差 d）、置信水平（对应临界值 z，95% 置信水平取 1.96）、以及总体变异程度（方差 S² 或比例 P）。
估计总体均值时，不放回情形的样本量公式为：
n = N·S²·z² / [ (N−1)·d² + S²·z² ]估计总体比例时，用 P(1−P) 替代 S²：
n = N·P(1−P)·z² / [ (N−1)·d² + P(1−P)·z² ]当 N 很大时，分母中的 N−1 与 N 近似，公式退化为常见的 n ≈ z²S²/d²。举例说明：某企业有 N=2000 名员工，欲估计人均月加班时长，历史数据表明标准差约 S=8 小时，要求估计误差不超过 1 小时、置信水平 95%。代入得 n = 2000×64×3.8416 / (1999×1 + 64×3.8416) ≈ 491840 / 2244.9 ≈ 219。若考虑无回答率约 10%，实际发放问卷应约为 219/0.9 ≈ 244 份。上述数值为教学示例，实际方案应以预调查或历史数据校准 S。
三、均值与比例估计
不放回情形下，总体均值 Ȳ 的无偏估计即样本均值 ȳ；总体比例 P 的估计为样本比例 p = m/n（m 为具有某特征的样本数）。放回情形下，样本均值仍是总体均值的无偏估计，但同一单元可能重复出现，估计量的方差结构不同。比例估计在放回情形下同样用 p，其方差为 P(1−P)/n，而不放回情形需乘以有限总体校正因子。
四、方差估计与有限总体校正
不放回 SRS 的样本均值方差估计为：
v(ȳ) = (1 − n/N) · s² / n其中 s² 为样本方差，(1 − n/N) 称为有限总体校正因子（fpc）。当抽样比 n/N 很小时，fpc 接近 1，可忽略；当抽样比达到 10% 以上时，忽略 fpc 会高估方差、低估精度。比例估计的方差估计为 v(p) = (1 − n/N)·p(1−p)/(n−1)。放回情形的方差估计则不含 fpc，直接为 s²/n 或 p(1−p)/n。这一差异正是放回抽样效率较低的原因。
五、放回与不放回情形对比
两种情形的核心差异体现在方差与效率上。放回抽样允许重复入样，相当于从“无限总体”中抽样，因此方差中不含 fpc，估计精度低于不放回抽样。当 n/N 很小时，两者差异可忽略；当抽样比增大时，不放回的优势明显。实践中，绝大多数调查采用不放回 SRS，因为重复访问同一单元既浪费成本又不增加信息量。放回情形更多出现在理论推导或某些需要独立同分布假设的场合。
六、设计效应初步
设计效应（Design Effect，Deff）定义为复杂抽样设计下估计量的方差与相同样本量下简单随机抽样方差之比：Deff = V(复杂设计)/V(SRS)。对 SRS 本身，Deff = 1，它是衡量其他设计效率的基准。若某分层设计的 Deff = 0.7，说明达到同样精度只需 SRS 样本量的 70%；若某整群设计的 Deff = 1.8，则需将样本量扩大约 1.8 倍才能达到 SRS 的精度。由此引出有效样本量 neff = n/Deff 的概念，它把不同设计“折算”到同一精度尺度上，便于方案比较与预算权衡。在方案设计阶段，即使尚未实施复杂设计，也应预估 Deff，用它修正样本量，避免“名义样本量足够、实际精度不足”的常见问题。