3. 随机数生成基础与正态分布采样
布朗运动的数值模拟，本质上是在计算机里“制造”一条随机游走路径。而这条路径的每一步增量，都来自随机数。因此，能否得到统计性质正确的随机数，直接决定了模拟结果是否可信。本节从伪随机数生成器（PRNG）的原理出发，讲清楚如何把均匀随机数转换为标准正态分布样本，并用可观察的统计量验证采样质量。
伪随机数生成器：确定性的“假随机”
计算机无法产生真正的随机数，只能通过确定性算法生成看似随机的序列，称为伪随机数。最经典的是线性同余生成器（LCG），其递推式为：
x_{n+1} = (a * x_n + c) mod m
u_n = x_n / m其中 x_0 为种子，a、c、m 为参数，u_n 落在 [0,1) 区间。给定相同的种子，序列完全可复现——这既是优点（实验可重复），也是缺点（并非真随机）。LCG 的周期最多为 m，且低位比特随机性差，因此现代实践通常不直接手写 LCG，而是使用语言标准库中更高质量的生成器，例如 Python 的 numpy.random.default_rng()（基于 PCG64）、C++ 的 std::mt19937（梅森旋转）。
使用 PRNG 有三条基本纪律：第一，显式指定种子，保证结果可复现；第二，不要用时间戳反复重置种子，否则会破坏序列的统计独立性；第三，不要把同一个生成器实例在并行任务中共享，应为每个线程或进程分配独立的种子流（如 SeedSequence 派生）。
从均匀分布到标准正态分布
PRNG 输出的是 [0,1) 上的均匀分布，而布朗运动增量需要 N(0,1) 样本。转换方法主要有三种：
- Box-Muller 变换：取两个独立均匀数
u1, u2，令z1 = sqrt(-2 ln u1) cos(2π u2)，z2 = sqrt(-2 ln u1) sin(2π u2)，一次得到两个独立标准正态样本。原理清晰，但涉及对数、三角函数，速度一般。 - 逆变换法：计算
z = Φ^{-1}(u)，其中Φ^{-1}是标准正态分布函数的反函数。概念直接，但需要高精度反函数实现。 - Ziggurat 算法：用分层拒绝采样快速生成正态样本，是现代库的常用方案，速度快且精度高。
实际工程中，直接调用 rng.standard_normal(size) 即可，无需手写变换。但理解 Box-Muller 有助于明白：正态样本的“随机性来源”仍是均匀随机数，若底层均匀数有偏，正态样本也会失真。
统计特性验证：不能只看均值
采样完成后必须验证。仅检查均值接近 0 是不够的，还要看方差、偏度、峰度以及分布形状。下面给出一个可直接运行的验证示例（参数与结果为教学示例设定，非实测数据）：
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(seed=20240501)
z = rng.standard_normal(200000)
print("均值:", z.mean()) # 期望 ≈ 0
print("标准差:", z.std()) # 期望 ≈ 1
print("偏度:", ((z - z.mean())**3).mean() / z.std()**3) # 期望 ≈ 0
print("峰度:", ((z - z.mean())**4).mean() / z.std()**4 - 3) # 超额峰度 ≈ 0判断标准可参考：样本量 20 万时，均值的标准误约为 1/sqrt(200000) ≈ 0.0022，因此均值落在 ±0.005 内属正常；标准差应在 0.99～1.01 之间；偏度绝对值小于 0.02、超额峰度绝对值小于 0.05 可认为形状良好。若均值明显偏离或峰度显著为正，说明采样或生成器存在问题。
采样质量对布朗运动的影响
布朗运动离散格式为 X_{t+Δt} = X_t + sqrt(Δt) * Z，其中 Z ~ N(0,1)。若 Z 的方差偏大，路径的扩散系数会被高估，均方位移 ⟨X²⟩ = 2Dt 的斜率随之偏大；若样本存在自相关，相邻步增量不独立，路径会显得“过于平滑”，均方位移曲线在长时间尺度上偏离线性。因此，采样验证不是形式主义，而是保证后续统计分析（如扩散系数估计、首次 passage time 计算）有效的前提。
常见陷阱与排查思路
实践中几个高频问题值得注意。其一，种子复用导致相关性：在蒙特卡洛循环中若每次重新用固定种子初始化，会得到完全相同的样本序列，统计上等价于只采了一个样本。正确做法是初始化一次生成器，循环内连续取数。其二，整数溢出：手写 LCG 时若用 32 位整数做乘法，a * x_n 会溢出，必须用 64 位或更大类型。其三，均匀数取到 0：Box-Muller 中 ln(u1) 在 u1=0 时无定义，需保证 u1 > 0，或使用 1-u1 规避。其四，只看均值不看尾部：布朗运动的大偏差行为依赖正态分布的尾部，若采样被截断（如人为限制在 ±3），极端路径会被系统性低估。
排查时可按“生成器 → 变换 → 统计量”的顺序逐层定位：先单独检验均匀数序列的均值（应约 0.5）、方差（应约 1/12）和自相关（应接近 0）；再检验变换后的正态样本；最后检查布朗路径的均方位移是否与 2Dt 线性吻合。逐层隔离，问题通常很快暴露。