📚 课程目录第4章基准测试函数与评估指标

4. 基准测试函数与评估指标

调参之前必须先有一把“尺子”。粒子群优化（PSO）没有梯度信息、没有解析最优路径，算法好坏只能通过在一组已知最优解的测试函数上反复运行来度量。基准测试函数提供“标准答案”，评估指标则把多次运行的原始数据压缩成可比较的数字。本节围绕四个最常用的测试函数和三类核心指标展开，并给出可直接套用的实验记录方式。

一、四个必知测试函数：它们各自“卡”住算法的什么能力

测试函数按地形分为单峰与多峰两类。单峰函数只有一个全局最优，考察的是收敛速度与开发（exploitation）能力；多峰函数存在大量局部最优，考察的是全局探索（exploration）与跳出局部极值的能力。四个函数的标准定义（均以求最小值为例）如下：

Sphere：f(x)=Σx_i²，最优值 0，位于原点。地形是光滑碗状，无局部陷阱，几乎所有 PSO 变体都能收敛，主要用来观察收敛速度与初期下降斜率。
Rosenbrock：f(x)=Σ[100(x_i+1−x_i²)²+(1−x_i)²]，最优值 0，位于全 1 向量。存在一条狭长的弯曲山谷，最优解在谷底尽头，算法容易沿谷壁来回震荡、进展缓慢，是检验方向协调性的经典难题。
Rastrigin：f(x)=10n+Σ[x_i²−10cos(2πx_i)]，最优值 0，位于原点。余弦项制造出大量规则分布的局部极小，是检验跳出局部最优能力的标准多峰函数。
Griewank：f(x)=1+Σx_i²/4000−Πcos(x_i/√i)，最优值 0，位于原点。乘积项使局部极值随维度增加而密集，且各维耦合，用于检验高维下的探索均匀性。

实践中的常见配置是：维度取 10 或 30，搜索空间统一设为 [−5.12, 5.12]（Rastrigin、Griewank 常用）或 [−30, 30]（Sphere、Rosenbrock 常用），种群规模 30～50，最大评价次数固定为 10000 或 20000。注意：比较不同算法时必须固定评价次数而非迭代代数，否则种群规模大的算法会因每代评价更多而占便宜，结论失真。

二、三类评估指标：从一条曲线到一组统计量

收敛曲线是最直观的工具：横轴为评价次数（或迭代代数），纵轴为当前全局最优适应度，通常取对数坐标。单次运行的曲线只能看趋势，规范做法是独立运行 30 次以上，绘制中位数曲线并叠加四分位带，这样既能看出典型收敛速度，也能看出运行间的离散程度。观察要点有三个：初期下降斜率反映探索效率；曲线何时进入平台期反映收敛速度；平台高度反映最终精度。

成功率（Success Rate, SR）定义为达到预设精度阈值的运行次数占总运行次数的比例。阈值必须事先声明，例如对 Sphere 取 f≤1e−6、对 Rastrigin 取 f≤1e−2，不同函数阈值不同，不能混用。SR 回答的是“算法能不能稳定找到足够好的解”，对多峰函数尤其关键。

稳定性用多次运行最终适应度的统计量刻画：均值反映整体水平，标准差或四分位距（IQR）反映波动，最差值与最优值给出边界。一个均值好但标准差大的算法，在工程上往往不如均值稍差但波动小的算法可靠。此外还可记录平均收敛代数（首次达到阈值的评价次数均值），用于比较达到同等精度所需的代价。

建议同时报告“均值±标准差”和“中位数[IQR]”两组统计量。适应度分布常呈右偏（少数运行卡在局部最优），此时均值会被拉高，中位数更能代表典型表现。

三、一次可复现的对比实验怎么做

下面给出一个最小但完整的实验记录结构，可直接作为实验日志模板使用。假设比较标准 PSO 与惯性权重线性递减 PSO（w 从 0.9 降到 0.4），在 30 维 Rastrigin 上各跑 30 次，最大评价次数 20000，阈值 1e−2。

实验配置
  函数: Rastrigin, D=30, 搜索空间 [-5.12, 5.12]
  算法A: PSO, w=0.729, c1=c2=1.494
  算法B: PSO-LDIW, w: 0.9→0.4 线性递减, c1=c2=1.494
  种群: 40, 最大评价次数: 20000, 独立运行: 30 次
  成功阈值: 最终适应度 ≤ 1e-2

记录字段（每次运行一行）
  run_id, algo, best_fitness, evals_to_threshold, success(0/1)

汇总输出
  SR = sum(success)/30
  均值±标准差、中位数[IQR]、最差值
  平均收敛代数（仅统计成功运行）
  收敛曲线: 每 200 次评价采样一次全局最优，取 30 次的中位数与四分位

结果判读时不要只看一个数字。若算法 B 的 SR 明显高于 A，但平均收敛代数也更长，说明它用更多评价换取了可靠性，是否值得取决于实际问题的评价成本。若两者 SR 接近而 B 的 IQR 更小，则 B 在稳定性上占优。若某算法在 Sphere 上曲线漂亮、在 Rastrigin 上平台很高，说明其探索能力不足，调参方向应转向增大惯性权重上限、提高认知/社会系数中的探索分量，或引入重启与变异机制。

常见误区：只跑 5 次就下结论；用不同评价次数比较不同种群规模的算法；对多峰函数只报告最优值而不报告成功率；收敛曲线只画单次运行。这些做法都会让调参结论不可靠，甚至把随机波动误判为参数改进。

把四个函数、三类指标和固定评价次数的实验协议组合起来，就构成了一套可重复的评估基线。后续任何参数调整或算法改进，都应在这套基线上对比，用成功率判断可靠性、用统计量判断稳定性、用收敛曲线判断速度，三者结合才能得出站得住脚的调参结论。