4. 初始解与初始温度设定
模拟退火算法的搜索轨迹从两个起点出发：一个是解空间中的具体位置，即初始解；另一个是接受劣解的概率尺度，即初始温度。这两者共同决定了算法前期的探索范围与后期的收敛质量。初始解选得差，算法可能要在高温阶段耗费大量迭代才能爬出低质量区域；初始温度定得过高，前期近乎随机游走，浪费计算预算；定得过低，则一开始就退化为局部搜索，失去跳出局部最优的机会。本节围绕这两个参数，讲清楚可落地的构造策略与经验设定方法。
初始解：不是随便给一个可行解就行
初始解的第一要求是可行，第二要求是“有质量但不完美”。完全随机的可行解在解空间中的期望质量往往很差，而贪心构造的解质量高但结构单一，容易让后续搜索陷入固定邻域。实践中常用的折中策略有三类。
纯随机构造：在满足约束的前提下逐位随机取值。以旅行商问题（TSP）为例，随机打乱城市顺序即可得到一个可行回路。这种方式实现最简单，适合作为对照基线，也适合解空间高度不规则、贪心规则难以设计的场景。缺点是初始目标值波动大，同一组参数在不同随机种子下表现差异明显。
贪心构造：每一步选择当前看起来最优的局部决策。TSP 中常用最近邻法：从某城市出发，每次走向距离最近的未访问城市，最后回到起点。以 20 个城市的示例算例（坐标随机生成、距离取欧氏距离）为例，最近邻法通常能得到比随机排列短 20%～40% 的回路，但容易在后期被迫走一条很长的“收尾边”。贪心的价值在于给出一个质量尚可的起点，让高温阶段不必从极差解开始。
随机化贪心（GRASP 式）：在贪心的每一步保留一个候选列表，从中随机挑选，而不是永远选最优。例如最近邻法中，把距离最近的 k 个未访问城市放入候选列表（k 常取 3～5），按概率或均匀随机选一个。这样既保留了贪心的质量倾向，又引入了结构多样性。若需要多次独立运行，可对每次运行使用不同的随机种子生成不同的随机化贪心解，再取目标值最好的一个作为初始解，成本很低而收益明显。
初始温度：用目标函数差异定标
初始温度的本质是控制“劣解被接受的概率”。Metropolis 准则中，目标值变差 Δ（Δ>0）的解被接受的概率为 exp(−Δ/T)。因此温度必须与问题的目标值量纲匹配：T 取 1 而 Δ 动辄上千，则几乎不接受劣解；T 取 10000 而 Δ 只有个位数，则前期等同随机搜索。直接拍一个绝对温度值，是模拟退火最常见的失误。
基于目标函数差异的经验设定法，核心思路是：先采样一批邻域解，统计目标值差异的分布，再反推一个使初始接受率落在合理区间的温度。常用做法如下：从初始解出发，随机产生 m 个邻域解（m 取 100～1000），计算每个邻域解与当前解的目标值差 Δᵢ（仅统计变差的，即 Δᵢ>0），得到平均劣化量 Δ̄。若希望初始阶段以概率 p₀ 接受平均劣化，则由 exp(−Δ̄/T₀)=p₀ 解得：
T₀ = −Δ̄ / ln(p₀)p₀ 的经验取值范围是 0.7～0.95，常用 0.8 或 0.9。举例：某排程示例算例中，采样 200 个邻域解，统计得平均劣化 Δ̄ = 12.5（目标为总延迟时间，单位分钟），取 p₀ = 0.8，则 T₀ = −12.5 / ln(0.8) ≈ −12.5 / (−0.2231) ≈ 56.0。这意味着初始阶段一个劣化 12.5 分钟的邻域解约有八成概率被接受，探索性充足；而劣化 100 分钟的解接受概率仅 exp(−100/56)≈0.17，不会完全失控。
若采样得到的 Δ̄ 波动很大（例如存在少数极端大的 Δᵢ），用平均值会被拉偏，此时可改用中位数或分位数（如 60% 分位）代替 Δ̄，或先剔除超过 3 倍标准差的离群值。另一种等价视角是直接设定初始接受率：采样后二分搜索 T，使实际接受比例接近目标 p₀，实现上更稳健，适合目标值量纲不直观的场景。
两个参数的联动与校验
初始解与初始温度并非独立。贪心解质量高，其邻域劣化量 Δ̄ 往往偏小，按公式算出的 T₀ 也偏小，前期探索范围窄；随机解质量差，Δ̄ 偏大，T₀ 随之偏大。因此标定温度时，必须使用“实际将要采用的初始解”来采样邻域，而不是换一个解去估计。若采用多次构造取最优的策略，应以最终选中的那个解为基准重新采样。
一个实用的校验方法是观察前若干次迭代的实际接受率。若前 100 次迭代接受率明显低于 p₀（例如低于 0.5），说明 T₀ 偏低或 Δ̄ 估计偏小，可乘以 1.5～2 的修正系数；若接受率接近 1 且目标值长期无改善，说明 T₀ 偏高，可乘以 0.5～0.7。这种“先标定、再小步修正”的做法，比反复试凑绝对温度更可控。
降温起点与终止的衔接
初始温度确定后，还需与降温策略衔接。常用几何降温 Tₖ₊₁ = αTₖ，α 取 0.90～0.99。若已知终止温度 T_end（通常取使最差邻域接受概率约 0.01 的量级），则总降温次数可由 n = ln(T_end/T₀)/ln(α) 估算。例如 T₀=56、T_end=0.5、α=0.95，则 n ≈ ln(0.0089)/ln(0.95) ≈ 93 次。这个估算帮助判断初始温度是否与总迭代预算匹配：若算出的降温次数远超预算，说明 T₀ 偏高或 α 偏大，应优先调整。
综上，初始解优先采用随机化贪心并在必要时多次构造取优；初始温度以实际初始解采样邻域、统计平均劣化量、按目标接受率反推，再用前段实际接受率做小幅修正。两者都以“与问题目标值量纲匹配”为原则，避免凭感觉给绝对数值，才能让模拟退火从第一步起就走在合理的探索节奏上。