4. 目标函数系数尺度差异引发数值警告：诊断与缩放策略

问题定位：系数尺度差异如何触发数值警告

目标函数中同时出现 1e-4 量级与 1e6 量级的系数时，单纯形法或内点法的基矩阵会因行/列尺度悬殊而条件数急剧恶化。求解器通常在预求解或首次迭代后抛出类似 Numerical trouble: matrix is badly scaled 的警告。诊断的核心不是"消除警告"，而是判断警告是否由系数尺度引起，并量化缩放前后的条件数变化。

下面用一个可复现的教学模型说明诊断路径。模型含 3 个变量、2 条约束，目标函数系数刻意跨越 10 个数量级：

min  f = 1e-4·x1 + 1e6·x2 + 1.0·x3
s.t. 2·x1 + 3·x2 + 1·x3 ≥ 10
     1·x1 + 1·x2 + 4·x3 ≥ 8
     x1, x2, x3 ≥ 0

将约束写成标准型 A x ≥ b，目标系数向量 c = [1e-4, 1e6, 1.0]。此时目标系数的动态范围为 1e6 / 1e-4 = 1e10，远超多数求解器默认的尺度容忍阈值（常见为 1e6~1e8）。

诊断：提取并比较条件数

条件数诊断分两步：先看目标系数本身的离散程度，再看缩放后基矩阵的条件数。用 NumPy 可直接计算：

import numpy as np

c = np.array([1e-4, 1e6, 1.0])
A = np.array([[2.0, 3.0, 1.0],
              [1.0, 1.0, 4.0]])

# 目标系数动态范围
dyn_range = c.max() / c.min()
print("目标系数动态范围:", dyn_range)   # 1e10

# 构造含目标行的扩展矩阵，评估整体尺度
M = np.vstack([c, A])
print("缩放前条件数:", np.linalg.cond(M))

# 按列最大值归一化（列缩放）
scale = np.abs(M).max(axis=0)
M_scaled = M / scale
print("缩放后条件数:", np.linalg.cond(M_scaled))
print("列缩放因子:", scale)

示例运行中，缩放前条件数通常在 1e10 量级，缩放后降至 1e1~1e2 量级。条件数下降 8~9 个数量级，说明尺度差异确实是数值警告的主因。注意：以上数值为教学示例的预期量级，实际值取决于具体矩阵，需以本地运行结果为准。

缩放方案选择与验证

常用缩放方案有三种，选择依据是系数分布形态：

对本例，列最大值归一化已足够。验证闭环分三步：

1. 缩放后求解：用 M_scaled 构造模型，确认求解器不再报数值警告。
2. 解回代：将缩放解 x' 按 x = x'/s 还原，与未缩放模型的解（若可求得）比较目标值。
3. 条件数复核：确认缩放后 cond(M_scaled) < 1e8，且目标值相对误差在 1e-6 以内。

# 回代验证
x_scaled = np.array([...])   # 缩放模型求得的解
x_orig = x_scaled / scale
f_orig = c @ x_orig
print("回代目标值:", f_orig)
# 与直接求解结果比较，相对误差应 < 1e-6