3. 变量、数组与矩阵基础

MATLAB 的一切计算几乎都围绕“数组”展开。理解变量如何存储数据、数组如何创建与索引、矩阵运算与数组运算的差别，是后续编写工程计算脚本的前提。本节围绕这些基础概念展开，并通过一个可复现的小例子把知识点串起来。

变量与数据类型

MATLAB 变量无需声明类型，赋值即创建。默认数值类型是双精度浮点 double，这也是工程计算中最常用的类型。常见类型还包括整型（int8～int64、uint8～uint64）、逻辑型 logical、字符型 char、字符串 string 以及元胞 cell、结构体 struct。可用 class(x) 查看类型，用 whos 查看变量名、大小、字节数和类型。

需要特别注意：MATLAB 中几乎所有标量本质上都是 1×1 的矩阵。因此 a = 5 与 A = [5] 在数值上等价，这一特性让标量与数组的运算规则保持统一。类型转换可用 double、int32、logical 等函数完成，例如 logical([1 0 1]) 得到逻辑数组，常用于后续的逻辑索引。

数组创建与索引

创建数组的常用方式有：方括号直接构造（[1 2 3] 为行向量，[1;2;3] 为列向量）、冒号运算符生成等差序列（1:2:9 得到 1 3 5 7 9）、以及 linspace(0,1,5) 生成 5 个等分点。矩阵则用分号分行，如 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]。

索引从 1 开始，这是 MATLAB 与 C、Python 的重要区别。对矩阵 A，A(2,3) 取第 2 行第 3 列元素；A(2,:) 取整行；A(:,2) 取整列；A(1:2,2:3) 取子块。此外还有线性索引：MATLAB 按列优先存储，A(4) 对应第 1 列第 4 个元素，即 A(1,2)。理解列优先顺序对后续 find、reshape 等函数非常关键。索引还可用于赋值，如 A(2,2) = 0 直接修改元素，A(:,4) = 10 可扩展出新列。

矩阵运算与数组运算的区别

这是初学者最容易混淆的地方。MATLAB 中 *、/、^ 默认按线性代数规则运算：A*B 要求内维匹配，执行矩阵乘法；A^2 表示 A*A。而数组运算（逐元素运算）需要在运算符前加点：.*、./、.^，要求两数组同尺寸或可广播，对应位置元素逐一运算。

例如对 A = [1 2; 3 4]，A^2 得到 [7 10; 15 22]，而 A.^2 得到 [1 4; 9 16]。工程中大量公式是逐元素形式，如计算各测点平方和、逐点缩放，此时必须用点运算。判断依据很简单：若公式是“每个元素各自算”，用点运算；若涉及矩阵整体变换（如解线性方程组、坐标旋转），用矩阵运算。

常用生成函数

工程建模中经常需要快速构造特定结构的数组，常用函数包括：zeros(m,n) 生成全零矩阵，ones 生成全一矩阵，eye(n) 生成单位阵，rand(m,n) 生成 0～1 均匀分布随机数，randn 生成标准正态随机数，magic(n) 生成魔方阵（常用于测试）。size 返回各维长度，numel 返回元素总数，length 返回最长维长度。这些函数在预分配内存时尤为重要——循环中不断扩展数组会显著降低效率，提前用 zeros 预分配是良好习惯。

逻辑索引与查找

逻辑索引是 MATLAB 处理数据的利器。比较运算（>、<、==、~=）作用于数组时返回同尺寸逻辑数组。例如 A = [3 8 1 6 9 2]，A > 5 得到 [0 0 0 1 1 0]，再用 A(A > 5) 即可取出所有大于 5 的元素 [8 6 9]。逻辑数组还能直接用于赋值，如 A(A < 3) = 0 把小于 3 的元素清零。

查找函数 find 返回满足条件的线性索引，[r,c] = find(A > 5) 同时返回行列号，便于定位具体位置。组合条件用 &（与）、|（或）、~（非），注意不要误用 &&、||（它们用于标量短路逻辑）。any、all 可判断是否存在或全部满足条件，isempty 判断是否为空数组。

综合示例：传感器数据处理

假设某实验采集了 6 个测点的温度值（单位 ℃），存为行向量 T = [21.5 25.8 19.2 30.1 27.6 22.3]。要求：找出超过 25 ℃ 的测点编号，计算这些测点温度相对 25 ℃ 的偏差平方和，并把低于 20 ℃ 的读数修正为 20 ℃。

T = [21.5 25.8 19.2 30.1 27.6 22.3];
idx = find(T > 25);              % 返回 [2 4 5]
dev = T(idx) - 25;               % 偏差 [0.8 5.1 2.6]
ss  = sum(dev.^2);               % 逐元素平方后求和，约 33.41
T(T < 20) = 20;                  % 第 3 个测点修正为 20
disp(T)                          % [21.5 25.8 20 30.1 27.6 22.3]

这段代码集中体现了本节要点：find 定位、逻辑索引取值、点运算逐元素平方、逻辑索引赋值修正。注意 dev.^2 必须用点运算，若写成 dev^2 会因维度不匹配报错。运行后可通过 idx 的长度判断超标测点数量，通过 ss 的数值评估整体偏离程度，通过 T 的变化确认修正是否生效。

掌握以上内容后，读者应能独立完成数组的创建、切片、逐元素计算与条件筛选。这些操作是后续函数编写、数据可视化与工程算法实现的基础，建议在练习中反复使用点运算与逻辑索引，形成稳定的编码习惯。