3. 概率与统计回顾：概率分布、期望、方差与蒙特卡洛模拟基础

在项目不确定区间与参数化估算中，概率与统计是量化风险的核心语言。本节将系统回顾关键概念：概率分布（正态、三角、贝塔）、期望与方差、置信区间，以及蒙特卡洛模拟的基本原理。这些工具将直接服务于后续的联合优化部署方案。

3.1 核心概率分布

概率分布描述了随机变量取值的可能性。在项目管理中，我们常用以下三种分布来建模任务工期、成本或资源消耗的不确定性。

3.2 期望与方差

期望（均值）衡量分布的“中心位置”，方差衡量分布的“离散程度”。它们是参数化估算中最重要的两个统计量。

• 期望 E[X]： 随机变量 X 的加权平均值。对于离散变量，E[X] = Σ x·P(x)；对于连续变量，E[X] = ∫ x·f(x) dx。
• 方差 Var(X)： 衡量 X 偏离期望的程度。Var(X) = E[(X - μ)²] = E[X²] - μ²。
• 标准差 σ： 方差的平方根，与原始数据单位一致，更直观。

在项目估算中，期望用于确定“最可能的预算/工期”，方差用于量化“风险敞口”。例如，两个任务期望相同（均为 10 天），但方差不同（σ₁=1 天，σ₂=3 天），则任务 2 的延期风险显著更高。

3.3 置信区间

置信区间给出了一个范围，该范围以一定置信水平包含总体参数的真值。在项目管理中，我们常用 90% 或 95% 置信区间来表达估算的不确定性。

• 正态分布下的置信区间： 对于已知 σ 的正态总体，μ 的 95% 置信区间为 [x̄ - 1.96·σ/√n, x̄ + 1.96·σ/√n]。
• 非参数方法： 当分布未知时，可使用 Bootstrap 或蒙特卡洛模拟直接生成百分位数区间（如 5% 分位数到 95% 分位数）。

3.4 蒙特卡洛模拟基础

蒙特卡洛模拟是一种通过大量随机抽样来近似复杂系统概率分布的方法。在项目估算中，它允许我们输入各任务的概率分布，输出总工期或总成本的概率分布。

基本步骤：

1. 定义输入分布： 为每个不确定变量（如任务工期）指定概率分布（三角、正态、贝塔等）。
2. 随机抽样： 从每个分布中独立抽取一个随机值，组成一组输入。
3. 计算输出： 根据模型（如关键路径法）计算本次抽样的总工期或总成本。
4. 重复迭代： 重复步骤 2-3 数千次（如 10,000 次），收集所有输出结果。
5. 统计分析： 对输出结果绘制直方图，计算均值、标准差、百分位数（如 P10、P50、P90）。

3.5 蒙特卡洛模拟流程示意图

下图展示了蒙特卡洛模拟在项目工期估算中的核心流程，从输入分布到输出概率分布。

3.6 三种分布对比与选择指南

下表总结了正态、三角、贝塔分布的关键差异，帮助你在实际项目中做出选择。

3.7 期望与方差的计算示例

假设某任务工期服从三角分布：最小值 a=5 天，最可能值 m=8 天，最大值 b=15 天。则：

• 期望 E[T] = (a + m + b) / 3 = (5 + 8 + 15) / 3 = 9.33 天
• 方差 Var(T) = (a² + m² + b² - a·m - a·b - m·b) / 18 = (25 + 64 + 225 - 40 - 75 - 120) / 18 = 79 / 18 ≈ 4.39
• 标准差 σ ≈ 2.10 天

这意味着该任务有约 68% 的概率落在 [7.23 天, 11.43 天] 区间内（假设近似正态）。

3.8 置信区间与蒙特卡洛的结合

在复杂项目中，直接计算解析解往往不可行。蒙特卡洛模拟通过大量抽样，直接输出输出变量的经验分布，进而计算任意置信水平的区间。

例如，某项目经过 10,000 次蒙特卡洛模拟，总工期排序后：

• 第 500 个值（5% 分位数）= 42 天
• 第 5000 个值（50% 分位数）= 48 天
• 第 9500 个值（95% 分位数）= 56 天

则 90% 置信区间为 [42 天, 56 天]，中位数为 48 天。

3.9 蒙特卡洛模拟的 Python 代码示例

以下代码演示了如何对两个三角分布任务进行蒙特卡洛模拟，并输出总工期的置信区间。

import numpy as np

def triangular_sample(a, m, b, size=10000):
    """生成三角分布随机样本"""
    u = np.random.uniform(0, 1, size)
    # 三角分布逆变换采样
    fc = (m - a) / (b - a)
    mask = u < fc
    samples = np.empty(size)
    samples[mask] = a + np.sqrt(u[mask] * (b - a) * (m - a))
    samples[~mask] = b - np.sqrt((1 - u[~mask]) * (b - a) * (b - m))
    return samples

# 任务 A: 三角分布 (5, 8, 15)
task_a = triangular_sample(5, 8, 15, 10000)
# 任务 B: 三角分布 (3, 6, 10)
task_b = triangular_sample(3, 6, 10, 10000)

# 总工期（假设串行）
total_duration = task_a + task_b

# 计算统计量
mean = np.mean(total_duration)
std = np.std(total_duration)
p5 = np.percentile(total_duration, 5)
p50 = np.percentile(total_duration, 50)
p95 = np.percentile(total_duration, 95)

print(f"均值: {mean:.2f} 天")
print(f"标准差: {std:.2f} 天")
print(f"90% 置信区间: [{p5:.2f}, {p95:.2f}] 天")
print(f"中位数: {p50:.2f} 天")

3.10 本节小结