📚 课程目录第2章显式动力学基础与LS-DYNA求解逻辑

2. 显式动力学基础与LS-DYNA求解逻辑

冲击与跌落问题的物理过程通常只有几毫秒到几十毫秒，却伴随大变形、接触碰撞、材料失效等强非线性行为。LS-DYNA 之所以成为这类问题的首选工具，核心在于它采用显式时间积分推进求解，而不是像静力学或一般动力学那样求解整体刚度矩阵的逆。理解显式积分的推进方式、稳定时间步的来源、沙漏控制的必要性以及能量平衡的判读方法，是判断一次跌落仿真结果是否可信的基础。

显式时间积分：从中心差分到逐步推进

显式动力学求解的运动方程可写为 M·a = F_ext − F_int，其中 M 为质量矩阵，a 为节点加速度，F_ext 为外力（重力、接触力等），F_int 为内力（单元应力对应的等效节点力）。LS-DYNA 采用集中质量矩阵，使 M 成为对角阵，于是每个自由度的加速度可以独立求出：a = M⁻¹(F_ext − F_int)，无需矩阵求逆或迭代求解。

时间推进使用中心差分格式。已知第 n 步的位移 dⁿ、速度 vⁿ，则：

v^(n+1/2) = v^(n-1/2) + aⁿ · Δt
d^(n+1)   = dⁿ + v^(n+1/2) · Δt

速度定义在半步，位移定义在整步，这种交错格式使每一步计算量极小，且天然适合并行。代价是条件稳定：时间步 Δt 必须小于临界值，否则数值解会迅速发散。这正是显式方法“步数多、每步快”的特征——跌落仿真动辄几十万甚至上百万步，但每步只做向量运算。

稳定时间步：显式求解的生命线

临界时间步由最小单元尺寸和材料波速决定。对三维实体单元，常用估算式为：

Δt_crit = L_e / c
c = sqrt(E / ρ)          （弹性波速，一维近似）
Δt = 0.9 · Δt_crit       （LS-DYNA 默认安全系数 0.9）

其中 L_e 为单元特征长度，c 为声速，E 为弹性模量，ρ 为密度。举例来说，某塑料外壳 E = 2.4 GPa、ρ = 1200 kg/m³，则 c ≈ 1414 m/s；若最小单元尺寸为 1 mm，Δt_crit ≈ 0.707 μs，取安全系数后约 0.64 μs。模拟 20 ms 的跌落需要约 31000 步。若把最小单元缩小到 0.2 mm，步数将增至约 15.5 万步，计算时间成倍上升。

因此，网格质量直接决定求解成本。实践中应避免个别过小单元“拖累”全局时间步，可通过质量缩放（*CONTROL_TIMESTEP 中的 DT2MS）人为增加小单元质量以提高 Δt，但必须监控质量增加比例，通常建议控制在 1%～5% 以内，否则会改变惯性效应，使结果失真。

沙漏控制：单点积分的代价与对策

为降低计算量，LS-DYNA 的实体单元默认采用单点积分，即只在单元中心取一个积分点。这带来一个副作用：单元可能出现零能量的变形模式，称为沙漏模式。沙漏变形不产生应变能，却会让网格呈现锯齿状、交替内凹外凸的形态，若不加控制，能量会不断注入，导致结果完全不可用。

沙漏控制通过引入少量人工刚度或黏性阻尼来抑制这种非物理变形。常用关键字为 *HOURGLASS，类型 4（刚度型）和类型 5（黏性型）较常见。控制强度由 QM 系数调节，默认约 0.05～0.10。判断沙漏是否受控，应查看 glstat 文件中的沙漏能（Hourglass Energy）：一般要求沙漏能不超过总能量的 5%，若超过 10% 则需加密网格、调整控制类型或改用全积分单元。

能量平衡：结果可信度的“体检指标”

显式求解过程中，系统总能量应满足：

E_total = E_kinetic + E_internal + E_hourglass + E_sliding + E_damping + E_external

其中动能、内能、沙漏能、接触滑移能、阻尼能和外部功之和应基本守恒。跌落仿真中，初始时刻物体具有重力势能或给定初速度对应的动能；撞击地面后，动能逐渐转化为内能和接触滑移能。若总能量出现明显漂移，或沙漏能、滑移能异常增大，说明模型存在问题。

实际判读时重点关注三点：一是沙漏能占比，超过 5% 需警惕；二是滑移能，若接触滑移能过大甚至超过内能，往往意味着接触定义不当或穿透严重；三是总能量曲线，应平滑变化，若出现突跳或持续上升，需检查边界条件、初始穿透或材料参数。LS-DYNA 输出的 glstat 和 matsum 文件是能量检查的主要依据。

为什么显式方法适配冲击跌落

冲击跌落问题的三个特征——强非线性、短历时、高速度——恰好与显式方法的优势对应。强非线性使隐式方法的迭代收敛困难，而显式方法无需迭代；短历时意味着总步数虽多但每步极快，总计算时间可接受；高速度和大变形要求时间步足够小以捕捉波传播和接触变化，显式方法天然满足。此外，显式方法对接触的处理相对直接，适合模拟跌落中复杂的自接触和地面接触。

实践建议：建立跌落模型后，先运行极短时间（如 1 ms）检查稳定时间步、沙漏能和初始穿透；确认无误后再延长至完整跌落时间。质量缩放比例、沙漏控制类型和接触参数应在正式计算前完成敏感性检查，避免因个别设置导致整轮计算作废。

综上，显式时间积分提供了高效的非线性求解框架，稳定时间步决定了计算成本，沙漏控制保障了单点积分的可用性，能量平衡则是结果可信度的最终判据。四者共同构成 LS-DYNA 冲击跌落仿真的求解逻辑基础，后续建模与参数设置都应围绕这四点展开检查与权衡。