3. 傅里叶变换与频谱分析实战

在MATLAB信号处理中，频谱分析是把时域采样序列转换为频率域描述的核心手段。工程上最常用的工具是快速傅里叶变换（FFT），但直接调用 fft 得到的复数序列并不能直接当作“频谱”使用，必须经过频率轴构造、幅度归一化、单边谱截取等步骤，才能得到可解读的工程频谱。本节围绕“怎么算、为什么有泄漏、怎么选窗、怎么看结果”展开。

一、FFT实现：从采样序列到可读频谱

设采样频率为 fs，采样点数为 N，则频率分辨率（相邻谱线间隔）为 df = fs/N，可观测频率范围为 [0, fs)。对实信号而言，频谱关于 fs/2 共轭对称，因此工程上通常只保留 0 ~ fs/2 的单边谱，并把非直流与非奈奎斯特分量的幅度乘以2，以补偿被丢弃的负频率能量。

下面是一段可直接运行的示例代码，构造一个由50 Hz与120 Hz正弦叠加、并加入少量白噪声的信号，完成单边幅度谱计算：

fs = 1000;              % 采样频率 1000 Hz
T  = 1.0;               % 信号时长 1 s
N  = fs*T;              % 采样点数 1000
t  = (0:N-1)/fs;        % 时间轴
x  = 0.8*sin(2*pi*50*t) + 0.5*sin(2*pi*120*t) + 0.05*randn(1,N);

X  = fft(x);            % 复数频谱
f  = (0:N-1)*(fs/N);    % 双边频率轴
P2 = abs(X)/N;          % 双边幅度谱，除以N归一化
P1 = P2(1:N/2+1);       % 取单边谱
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);   % 非直流分量幅度乘2
f1 = f(1:N/2+1);        % 单边频率轴

plot(f1, P1); grid on;
xlabel('频率 / Hz'); ylabel('幅度');
title('单边幅度谱');

运行后应能在50 Hz处看到约0.8、在120 Hz处看到约0.5的谱峰，噪声则表现为低幅度的基底起伏。这里有两个容易出错的点：一是忘记除以 N，导致幅度随点数变化；二是忘记对单边谱乘2，使幅度只有真实值的一半。判断频谱是否正确的直接依据，就是已知分量的频率位置与幅度是否与设定值吻合。

二、频谱泄漏与窗函数

FFT隐含一个假设：所分析的 N 点序列恰好是周期信号的一个整周期。若信号频率不是 df 的整数倍，截断处就会产生突变，能量从主瓣向旁瓣扩散，这就是频谱泄漏。泄漏会让弱分量被强分量的旁瓣淹没，也会使谱峰幅度和频率读数产生偏差。

抑制泄漏的常用手段是加窗。窗函数在序列两端平滑衰减到零，减小截断突变。代价是主瓣变宽、频率分辨率下降，因此窗函数选择本质上是“泄漏抑制”与“分辨率”之间的权衡：

• 矩形窗：主瓣最窄、分辨率最高，但旁瓣高、泄漏严重，适合整周期采样或瞬态冲击测量。
• 汉宁窗（Hanning）：旁瓣衰减快，适合连续随机信号与一般工程频谱分析，是最常用的默认选择。
• 汉明窗（Hamming）：第一旁瓣更低，适合需要兼顾旁瓣抑制与一定分辨率的场合。
• 平顶窗（Flat Top）：主瓣很宽但幅度平坦，适合精确测量单频分量的幅值。
• 布莱克曼窗：旁瓣抑制最强，主瓣最宽，适合强干扰背景下寻找弱分量。

加窗后必须做幅度补偿，否则谱峰幅度会因窗函数能量损失而偏低。MATLAB中可用相干增益修正：

w   = hanning(N)';        % 汉宁窗
xw  = x .* w;             % 加窗
Xw  = fft(xw);
Pw2 = abs(Xw)/N;
Pw1 = Pw2(1:N/2+1);
Pw1(2:end-1) = 2*Pw1(2:end-1);
CG  = sum(w)/N;           % 相干增益
Pw1 = Pw1 / CG;           % 幅度补偿
plot(f1, Pw1); grid on;

若不做补偿，汉宁窗下50 Hz谱峰幅度会明显低于0.8；补偿后应重新接近设定值。这就是判断窗函数使用是否正确的一个可操作依据。

三、工程信号频谱解读

得到频谱后，工程解读通常关注四类信息：谱峰频率（对应哪些周期分量）、谱峰幅度（各分量强度）、谱底噪声（本底噪声水平）、谐波与边带（是否存在非线性或调制）。例如电机振动信号中，转频及其倍频往往成组出现；若在转频两侧出现间隔等于某特征频率的边带，则提示存在调制或故障特征。

解读时还要注意几个工程约束。第一，频率分辨率 df = fs/N 决定了能否分开两个靠近的谱峰，若两分量间隔小于 df，它们会合并成一个峰。第二，采样频率必须满足奈奎斯特条件 fs > 2fmax，否则高频分量会折叠到低频，产生虚假谱峰。第三，谱峰幅度受窗函数、采样时长和信号非平稳性影响，绝对幅度读数应结合标定系数换算为物理量。

综合来看，FFT频谱分析的关键不在于调用函数，而在于理解“截断—泄漏—加窗—补偿—解读”这条链路中每一步对结果的影响。只有把归一化、单边谱、窗函数补偿这些细节处理正确，频谱图才能真正成为工程判断的依据。