3. 自由尺寸优化数学基础

自由尺寸优化（Free-Size Optimization）在 OptiStruct 中并不是“凭感觉删单元”，它本质上是一个带惩罚的连续变量优化问题：把每个壳单元的厚度当作可连续变化的设计变量，通过插值模型把“厚度”映射为“单元密度”，再用惩罚机制把中间密度推向 0 或 1，最终得到一张“哪里该留料、哪里该去料”的厚度分布图。理解这套数学表达，是判断优化结果是否可信、参数是否设置合理的前提。

一、设计变量：以单元厚度为载体的连续变量

在自由尺寸优化中，设计变量不是单元的“有/无”，而是每个设计域内壳单元的单元厚度。设设计域被离散为 N 个壳单元，则设计变量向量可写为：

x = [x₁, x₂, …, x_N]ᵀ,   x_i ∈ [x_min, x_max]

其中 x_i 是第 i 个单元的厚度变量，x_min 通常取一个很小的正数（如 0.01 mm 或初始厚度的 1%），x_max 取工艺允许的最大厚度（如 3 mm 或初始厚度的 2～3 倍）。x_min 不能取 0，否则单元刚度矩阵奇异，求解会失败；这也是自由尺寸优化与拓扑优化在变量定义上的关键差别——拓扑优化用“材料密度”作变量，自由尺寸优化用“厚度”作变量，但两者在数学处理上高度同源。

OptiStruct 中通过 DESVAR 与 DVPREL1 卡片把厚度变量与 PSHELL 的 T 字段关联。例如一个 2 mm 初始厚度的壳，可设置：

DESVAR, 1, THICK_1, 2.0, 0.02, 4.0
DVPREL1, 1, PSHELL, 1, T, 1.0, 1, 0.0

这表示变量 THICK_1 初始值 2.0 mm，下限 0.02 mm，上限 4.0 mm，并以线性比例影响 PSHELL 1 的厚度。实际工程中常按“设计域”批量建立变量，而不是逐单元手工定义。

二、单元密度与厚度插值模型

为了把厚度变量转化为类似拓扑优化的“材料分布”概念，OptiStruct 引入归一化密度：

ρ_i = (x_i − x_min) / (x_max − x_min),   ρ_i ∈ [0, 1]

ρ_i 接近 1 表示该单元“满料”，接近 0 表示“去料”。单元刚度矩阵按 SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）型插值缩放：

K_i = ρ_i^p · K_i⁰

其中 K_i⁰ 是单元在参考厚度下的刚度矩阵，p 为惩罚因子。厚度与密度的关系并非简单线性，OptiStruct 内部采用与厚度相关的插值，使中间厚度在刚度上“得不偿失”，从而在优化后期自然向两端聚集。需要强调的是：ρ_i 是数学中间量，最终输出的是厚度云图，而不是密度云图。

三、中间密度惩罚机制

如果 p = 1，问题退化为线性规划，优化器会大量保留中间厚度（如 1.2 mm、1.7 mm），结果无法指导“留料/去料”决策。惩罚因子 p 的作用是压低中间密度的刚度贡献：

p 通常取 3.0（二维壳单元常用 2.0～3.0）

当 ρ = 0.5、p = 3 时，ρ^p = 0.125，即“半厚”单元只贡献 12.5% 的刚度，优化器会主动把它推向 0 或 1。但 p 过大也会带来问题：刚度矩阵病态、迭代震荡、结果对网格敏感。工程上常采用“连续化策略”——前期用较小 p（如 1.5）保证收敛稳定，后期逐步提高到 3.0，使密度分布逐渐清晰。OptiStruct 的 MATPEN 或自由尺寸优化参数中的惩罚设置即对应这一机制。

四、目标函数与约束条件的数学表达

自由尺寸优化通常以柔度最小化（等价于刚度最大化）为目标：

min  C(x) = Uᵀ K U = Σ ρ_i^p · u_iᵀ k_i⁰ u_i
s.t. K U = F
     V(x) = Σ ρ_i · v_i ≤ V*  （体积约束）
     0 ≤ x_min ≤ x_i ≤ x_max
     g_j(x) ≤ 0  （应力、位移、频率等附加约束）

其中 U 为全局位移向量，F 为载荷向量，v_i 为单元体积，V* 为允许的材料体积上限（如初始体积的 30%）。体积约束是自由尺寸优化最核心的约束，它直接决定“能去掉多少料”。若同时施加应力约束，则需引入应力凝聚函数，计算量显著增加，通常建议先做无应力约束的自由尺寸优化，再对结果做尺寸/形状优化。

灵敏度分析是求解的关键：目标函数对设计变量的偏导为

∂C/∂ρ_i = −p · ρ_i^(p−1) · u_iᵀ k_i⁰ u_i

该式说明：单元应变能越大，其密度增加对降低柔度越有利，优化器据此把材料从低应变能区搬到高应变能区。体积约束的灵敏度为 ∂V/∂ρ_i = v_i，两者共同构成优化器的搜索方向。

五、参数设置与结果判读的对应关系

把上述数学表达落到 OptiStruct 实际操作，需要关注三组参数与结果的对应关系。第一组是变量上下限：x_min 过大会导致“去不干净”，x_max 过小则限制增料空间，建议 x_min 取初始厚度的 1%～5%，x_max 取初始厚度的 2～3 倍。第二组是体积分数 V*：它直接决定材料保留比例，工程上常从 0.3 开始试算，观察厚度云图是否出现清晰的“骨架”。第三组是惩罚因子 p 与迭代策略：若结果中 0.3～0.7 的中间厚度单元占比超过 15%，应提高 p 或增加迭代步数。

结果判读时，不要只看最大厚度值，而要看厚度分布的连通性与可制造性。理想结果是：高厚度区形成连续传力路径，低厚度区成片消失，边界清晰；若出现大量孤立的高厚度小岛或棋盘格，说明网格过粗或惩罚过强，需要加密网格或降低 p。自由尺寸优化的输出本质是一张“厚度建议图”，后续还需经过尺寸优化或形状优化，才能转化为可制造的板厚规格。

总结来看，自由尺寸优化的数学基础可以浓缩为一条链：厚度变量 → 归一化密度 → SIMP 插值 → 惩罚因子 → 柔度目标与体积约束 → 灵敏度驱动迭代。理解每个环节的数学含义，才能在 OptiStruct 中正确设置 DESVAR 上下限、体积分数和惩罚参数，并对厚度云图做出专业判断。