4. 实验设计方法（DOE）与采样策略
在AI辅助CAE设计空间探索中，采样策略决定了我们以多高的成本获取多少关于设计空间的信息。CAE仿真单次求解往往耗时数分钟到数小时，因此不可能对设计空间进行穷举扫描。实验设计（Design of Experiments, DOE）正是解决"在哪里取点、取多少个点"这一核心问题的数学框架。本节围绕全因子、正交、拉丁超立方和Sobol序列四类方法，讨论采样均匀性、空间填充性与样本效率之间的权衡关系。
一、四类采样方法的本质差异
全因子设计是最直观的方法：对每个设计变量取若干水平，组合出所有可能的样本点。若设计变量为k个、每个变量取n个水平，则样本数为n^k。例如3个变量各取5水平，需要125个样本。全因子设计的优势在于能完整捕捉变量间的交互效应，且样本点规则分布在网格上；缺点是样本数随变量维度指数增长，当变量超过5个、水平超过3个时，样本量迅速变得不可接受。
正交设计通过正交表（如L9(3^4)、L16(4^5)）在保持各因素水平均衡搭配的前提下大幅削减样本数。以L9(3^4)为例，4个三水平因素只需9次实验，而非全因子的81次。正交性的含义是：任意两个因素的水平组合在样本中出现次数相同，从而保证各因素主效应可独立估计。正交设计适合因素筛选阶段，但样本点仍落在离散水平网格上，空间填充性一般。
拉丁超立方采样（LHS）将每个变量的取值区间等分为N个区间，在每个区间内随机取一点，再随机配对形成N个样本。LHS保证每个变量的一维投影均匀分布，样本数可自由设定（通常取10k~20k，k为变量数）。但标准LHS存在"对角线聚集"风险——样本可能在某些区域密集、另一些区域稀疏，需要配合最大化最小距离准则（maximin）或相关性最小化准则进行优化。
Sobol序列属于低差异序列（Low-discrepancy Sequence），通过确定性算法生成在超立方体上分布极为均匀的点集。与LHS的随机性不同，Sobol序列的样本点具有确定性和可扩展性：增加样本时无需重新计算已有点，新点自动填充空隙。其差异度随样本数N以O((log N)^k/N)的速度收敛，在高维空间中仍能保持良好均匀性，因此特别适合代理模型训练和全局灵敏度分析。
二、均匀性与空间填充性的量化
评价采样质量有两个核心指标。一是均匀性，常用偏差（Discrepancy）度量，偏差越小表示样本在空间中的分布越接近理想均匀分布。Sobol序列的星偏差（Star Discrepancy）在高维下仍保持较低水平，而随机采样的偏差收敛速度为O(N^(-1/2))，明显慢于低差异序列。二是空间填充性，常用最大化最小距离（maximin）准则衡量：计算所有样本点对之间的欧氏距离，取最小值，该值越大表示样本点彼此越分散、覆盖越充分。LHS通过优化可达到较好的maximin性质，但Sobol序列在相同样本数下通常具有更优的填充性。
需要特别注意的是，均匀性与空间填充性并不完全等价。一个样本集可能一维投影均匀（LHS保证），但二维或高维空间中仍存在局部聚集。因此在实际应用中，建议同时检查两个指标：计算样本集的偏差值，并绘制样本点对距离直方图，观察最小距离是否过小。
三、样本效率的工程含义
样本效率指达到给定代理模型精度所需的样本数量。假设我们用Kriging或径向基函数（RBF）构建代理模型，以交叉验证的R²或均方根误差（RMSE）作为精度指标。在典型工程问题中（如5~10个设计变量），达到R²≥0.95通常需要：全因子设计约3^k~5^k个样本（k=5时约243~3125个），正交设计约30~80个样本，LHS约50~150个样本，Sobol序列约40~120个样本。这些数值为经验参考，实际取决于设计空间的非线性程度和变量交互强度。
样本效率的差异源于信息利用率：全因子和正交设计将样本固定在离散水平上，无法灵活适应响应面的曲率变化；LHS和Sobol序列则在整个连续空间内布点，能更有效地捕捉非线性趋势。当设计变量维度较高（k≥8）时，低差异序列的优势尤为明显。
四、实操建议与选择决策
在实际CAE设计空间探索中，建议按以下逻辑选择采样方法：
- 变量数k≤3且需要完整交互信息：优先全因子设计，水平数取3~5，样本量可控且信息完整。
- 因素筛选阶段（k=4~8，需识别主效应）：使用正交表，如L16(4^5)或L27(3^13)，样本数远小于全因子。
- 代理模型训练（k=5~15）：优先Sobol序列，样本数取10k~20k；若需增量加点，Sobol的确定性扩展特性可避免重新计算。
- 样本预算极紧或需自定义约束：使用优化LHS（maximin或相关性最小化），在给定N下最大化空间填充性。
scipy.stats.qmc模块直接生成Sobol序列和LHS样本。例如qmc.Sobol(d=5, scramble=True).random(64)生成5维64个样本；qmc.LatinHypercube(d=5).random(64)生成LHS样本。生成后建议计算样本点对最小距离和偏差值，验证采样质量。
五、采样质量检查清单
| 检查项 | 合格标准 | 检查方法 |
|---|---|---|
| 一维投影均匀性 | 每个变量各区间样本数偏差≤10% | 绘制各变量边缘直方图 |
| 空间填充性 | 最小点对距离≥0.5×(1/N^(1/k)) | 计算距离矩阵取最小值 |
| 变量间相关性 | 任意两变量Pearson相关系数绝对值≤0.1 | 计算相关矩阵 |
| 边界覆盖 | 设计空间边界附近有样本点 | 检查各变量极值附近样本数 |
| 可扩展性 | 追加样本后原样本仍有效 | 确认采样方法支持增量 |
掌握这四类采样方法及其权衡关系后，下一步需要将采样得到的样本输入CAE求解器，获得响应值，再构建代理模型。采样策略的选择直接决定了后续代理模型的精度上限和优化效率，因此值得在探索初期投入时间进行合理设计。