4. 动态模态分解（DMD）与Koopman算子
动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）是一类从时间序列数据中直接提取“空间模态 + 时间演化”的数据驱动方法。它不依赖控制方程，只依赖快照矩阵，因此特别适合实验测量、CFD 采样和结构响应数据。DMD 与 Koopman 算子理论之间存在深刻联系：DMD 可以看作在有限维观测空间中对 Koopman 算子的近似谱分解。理解这一联系，是判断 DMD 能否用于降阶建模、预测和稳定性分析的关键。
4.1 DMD 算法流程
设按等时间间隔 Δt 采集的 N+1 个快照为 x₀, x₁, …, x_N，每个快照为 m 维列向量。将数据排成两个矩阵：
X = [x₀ x₁ … x_{N-1}] (m × N)
X' = [x₁ x₂ … x_N ] (m × N)DMD 的核心假设是存在一个线性算子 A，使得 X' ≈ A X。标准算法如下：
- 构造快照矩阵：X 与 X'，列数 N，行数 m。
- 计算 SVD：X = U Σ V*，其中 U 为 m×r，Σ 为 r×r，V 为 N×r，r 为截断秩。
- 构造低维算子：Ã = U* X' V Σ⁻¹，尺寸为 r×r。
- 特征分解：Ã W = W Λ，得到特征值 λⱼ 与特征向量 wⱼ。
- 重构 DMD 模态：Φ = X' V Σ⁻¹ W，每一列对应一个动态模态。
- 计算连续时间特征值：ωⱼ = ln(λⱼ)/Δt，实部为增长率，虚部为角频率。
预测时，任意时刻 t 的重构场可写为 x(t) ≈ Σⱼ Φⱼ exp(ωⱼ t) bⱼ，其中 bⱼ 为初始幅值系数，通常由 b = Φ⁺ x₀ 求得。截断秩 r 的选择直接影响降阶效果：r 过小会丢失高频或小能量模态，r 过大则引入噪声模态。工程中常用奇异值能量占比（如 99.9%）或“肘部”判据确定 r。
4.2 精确 DMD 与延时 DMD
标准 DMD 假设数据由单一线性算子生成，对含噪声、非线性或宽带频谱的流场往往表现不佳。精确 DMD（Exact DMD）在模态重构上做了改进：它不再用 Φ = X' V Σ⁻¹ W，而是用 Φ = (1/λ) X' V Σ⁻¹ W，使模态与特征值满足 A Φ = Φ Λ 的精确关系，从而在重构和预测中更一致。精确 DMD 不改变特征值，只修正模态幅值和相位，对稳定性判断更可靠。
延时 DMD（Time-Delayed DMD / Hankel DMD）则从数据构造入手。将每个快照扩展为延时嵌入向量：
x̃ᵢ = [xᵢ; x_{i+1}; …; x_{i+d-1}]其中 d 为延时步数。这样得到的 Hankel 矩阵行数变为 m·d，列数减少。延时嵌入把标量或低维观测“升维”到高维空间，使原本非线性的动力学在该空间中更接近线性，从而被 DMD 捕捉。延时 DMD 对噪声更鲁棒，能分离出更干净的频率成分，但代价是计算量随 d 增大而上升，且 d 需要根据信号自相关或互信息合理选择。经验上 d 取 10～50 步，或覆盖 2～3 个主导周期。
4.3 Koopman 算子理论
Koopman 算子从观测函数的角度描述非线性动力系统。设离散动力系统 x_{k+1} = F(x_k)，任意观测函数 g(x) 的 Koopman 算子定义为：
(K g)(x) = g(F(x))也就是说，Koopman 算子把“观测函数”向前推进一个时间步。它的关键性质是：即使 F 是非线性的，K 对观测函数的作用仍是线性的。因此，非线性系统在观测函数空间中被提升为线性演化。Koopman 算子的特征函数 φⱼ 和特征值 μⱼ 满足 K φⱼ = μⱼ φⱼ，对应的观测演化可写成 g(x_k) = Σⱼ μⱼᵏ φⱼ(x₀) cⱼ。
DMD 与 Koopman 的关系在于：DMD 模态 Φⱼ 可视为 Koopman 特征函数在快照数据上的离散近似，DMD 特征值 λⱼ 近似 Koopman 特征值 μⱼ。当观测函数取为状态本身（g(x)=x）时，DMD 就是 Koopman 算子的有限维数据近似。这一视角解释了为什么 DMD 能对非线性系统给出线性预测：它不是在原状态空间线性化，而是在观测空间中寻找线性结构。
4.4 在流场与结构动力学中的应用对比
DMD 在流场与结构动力学中的使用方式有明显差异，下表给出对比。
| 对比维度 | 流场应用 | 结构动力学应用 |
|---|---|---|
| 数据对象 | 速度场、压力场快照（PIV/CFD） | 位移、速度、加速度响应 |
| 主导模态 | 涡街、剪切层、脱落频率 | 弯曲、扭转、耦合模态 |
| 关注特征值 | 虚部→频率，实部→增长率/衰减 | 虚部→固有频率，实部→阻尼比 |
| 典型挑战 | 噪声、宽带谱、瞬态与周期共存 | 密集模态、非线性阻尼、时变刚度 |
| 常用变体 | 延时 DMD、优化 DMD、多分辨率 DMD | 延时 DMD、DMD with control、贝叶斯 DMD |
| 降阶用途 | 流场低维重构、稳定性预测 | 响应预测、损伤识别、控制设计 |
在流场中，DMD 常用于识别主导频率和空间相干结构。例如圆柱绕流 Re=100 时，速度场快照经 DMD 分解后，第一对共轭模态对应卡门涡街脱落频率，实部接近零表示极限环稳定。若实部为正，则提示流动可能失稳。在结构动力学中，DMD 更多用于从响应数据中提取模态频率和阻尼。例如三层剪切框架在脉冲激励下的位移响应，经延时 DMD 可分离出三阶弯曲模态，特征值虚部对应各阶固有频率，实部对应阻尼衰减率。与流场相比，结构响应通常信噪比更高、模态更集中，但密集模态和非线性阻尼会使 DMD 模态混叠，此时需要增大延时步数或采用带控制的 DMD。
综合来看，DMD 提供了一条从数据到降阶模型的直接路径，而 Koopman 算子为这条路径提供了理论解释。精确 DMD 修正模态一致性，延时 DMD 增强非线性与噪声鲁棒性。在流场中侧重频率与稳定性，在结构中侧重模态与阻尼。实际应用时，应根据数据质量、主导频率范围和降阶目标，选择合适变体并合理设置截断秩与延时步数，才能得到可解释、可预测的降阶模型。