3. 凝固过程物理机制

铸件凝固并不是一个单一过程，而是传热、相变、潜热释放、溶质再分配、液相流动与补缩相互耦合的物理过程。仿真建模的核心任务，是把这些可观察的物理现象翻译成可求解的数学方程，并明确每个方程中哪些量是输入、哪些量是待求、哪些量通过耦合项互相影响。理解这条“现象—变量—方程—耦合”的映射链，是后续设置边界条件、选择求解器和判断结果合理性的基础。

一、传热：温度场的控制方程

凝固首先由热量散失驱动。铸件内部任意位置的温度随时间变化，由三维瞬态热传导方程描述：

ρ·c_p·∂T/∂t = ∂/∂x(λ·∂T/∂x) + ∂/∂y(λ·∂T/∂y) + ∂/∂z(λ·∂T/∂z) + Q

其中 ρ 为密度，c_p 为比热容，λ 为导热系数，T 为温度，t 为时间，Q 为内热源项。对凝固问题而言，Q 主要来自潜热释放，而不是外部加热。若忽略 Q，模型只能算出降温曲线，却无法得到凝固前沿位置和固相率演化，因此潜热项是凝固传热区别于普通热传导的关键。

边界条件决定热量往哪里走。铸件—铸型界面常用第三类边界条件：

-λ·∂T/∂n = h·(T_surface - T_mold)

h 为界面换热系数，单位 W/(m²·K)。砂型铸造中 h 通常取 300～1000 W/(m²·K)，金属型铸造可达 2000～5000 W/(m²·K)。h 的取值直接影响凝固时间，是仿真标定的首要参数。初始条件一般设为浇注温度，例如铝合金浇注温度约 680～720 ℃，铸型初始温度约 20～250 ℃。

二、相变与潜热释放：从温度到固相率

相变发生在液相线温度 T_L 与固相线温度 T_S 之间。对合金而言，凝固不是在一个温度点完成，而是在一个温度区间内逐步进行。定义固相率 f_s：

f_s = 0,            T ≥ T_L
f_s = (T_L - T)/(T_L - T_S),  T_S < T < T_L
f_s = 1,            T ≤ T_S

这是线性杠杆假设下的简化式。实际合金常用 Scheil 模型或杠杆模型计算 f_s(T)。潜热释放速率与固相率变化率成正比：

Q = ρ·L·∂f_s/∂t

L 为凝固潜热，例如铝合金约 350～400 kJ/kg，铸铁约 200～250 kJ/kg。由于 ∂f_s/∂t 与 ∂T/∂t 通过 f_s(T) 关联，潜热项可转化为等效比热：

c_eff = c_p - L·∂f_s/∂T

在 T_S 到 T_L 区间内，c_eff 显著增大，使温度下降变缓，这就是凝固平台或“热停滞”现象的数学来源。仿真中若把潜热简单加在某一温度点，会得到过窄的凝固区间，导致缩孔预测偏小。

三、溶质再分配：成分偏析的数学描述

合金凝固时，溶质在固相和液相中的溶解度不同，分配系数 k = C_S/C_L。k < 1 时，溶质排出到液相，形成正偏析；k > 1 时则相反。常用三种模型描述：

• 杠杆模型：假设固液相完全扩散均匀，C_L = C_0 / [1 - (1-k)·f_s]。
• Scheil 模型：假设固相无扩散、液相完全混合，C_L = C_0·(1 - f_s)^(k-1)。
• Brody-Flemings 模型：引入固相扩散因子，介于两者之间。

溶质再分配直接影响液相线温度：局部成分变化会改变 T_L，从而改变凝固顺序。在仿真中，若只算热传导而不更新局部成分，就无法预测最后凝固区域的成分富集和低熔点相，也就难以解释热裂和缩松倾向。

四、对流与补缩：流动对凝固的影响

液相流动由三种机制驱动：浇注充型后的惯性流动、温度差引起的自然对流、以及凝固收缩引起的补缩流动。动量方程采用 Navier-Stokes 方程，在糊状区需引入 Darcy 阻力项：

∂u/∂t + (u·∇)u = -∇p/ρ + ν∇²u + gβ(T-T_ref) - (ν/K)·u

其中 K 为渗透率，随固相率增大而减小，常用 Kozeny-Carman 关系：

K = K_0·(1-f_s)³ / f_s²

当 f_s 接近 1 时，K 趋近于 0，糊状区流动几乎停止，补缩通道被切断。此时若上方没有足够液相补入，就会在最后凝固区域形成缩孔。缩松则发生在枝晶间，当局部压力低于某一临界值，或固相率超过 0.7～0.9 时，枝晶间液体被孤立，收缩无法补充，形成分散微孔。

五、从物理现象到数学模型的映射关系

把上述机制放在一起，可以看到一条清晰的映射链：温度场决定相变位置，相变释放潜热反过来改变温度场；溶质再分配改变局部液相线温度，影响固相率；固相率决定渗透率，控制补缩流动；流动又通过对流换热影响温度场。这是一个双向耦合问题，不能按单向顺序求解。

六、缩孔缩松的形成条件与判据

缩孔是宏观集中孔洞，通常出现在最后凝固的热节处；缩松是分散微孔，出现在枝晶间。两者的共同物理条件是：局部凝固收缩得不到液相补充。在仿真中常用以下判据：

• 固相率判据：当 f_s > 0.7 时，补缩流动显著受阻；f_s > 0.9 时基本孤立。
• 温度梯度与冷却速率判据：G/√R 越小，越倾向于缩松；G 为温度梯度，R 为冷却速率。
• 压力判据：局部压力低于临界压力时，枝晶间液体无法补缩。
• Niyama 判据：Niyama = G/√R，低于某临界值时判定为缩松区。

以某铝合金铸件为例，假设浇注温度 700 ℃，铸型初始温度 200 ℃，界面换热系数 800 W/(m²·K)，液相线 615 ℃，固相线 550 ℃，潜热 380 kJ/kg。仿真中若采用线性 f_s(T)，凝固区间为 65 ℃；若采用 Scheil 模型，最后 10% 固相率对应的温度区间可能只有几摄氏度，局部凝固时间显著延长，缩松倾向增大。这说明相变模型的选择会直接改变缩孔缩松预测结果。

总结来看，凝固仿真的建模过程就是不断回答“哪个物理机制对应哪个数学项”的过程。传热对应能量方程，相变对应 f_s(T)，潜热对应 Q 或 c_eff，溶质再分配对应 C_L(f_s)，对流与补缩对应 N-S 方程加 Darcy 阻力项。只有把这些映射关系逐一落实，仿真结果才具备物理可解释性，后续的缩孔缩松判据才有可靠依据。