📚 课程目录第3章 LS-DYNA显式动力学基础

3. LS-DYNA显式动力学基础

薄壁结构吸能仿真通常涉及大变形、接触碰撞和材料失效，这类问题在 LS-DYNA 中默认采用显式动力学求解。理解显式时间积分的基本逻辑，是后续设置时间步长、质量缩放和沙漏控制的前提。本节围绕四个核心概念展开：显式时间积分如何推进、条件稳定从何而来、时间步长如何控制、质量缩放与沙漏控制分别解决什么问题。

一、显式时间积分：用当前状态直接推下一步

显式动力学求解运动方程 M·a = F_ext − F_int 时，不组装和求解整体刚度矩阵，而是利用质量矩阵的对角特性，把加速度直接解出：a_n = M⁻¹(F_ext − F_int)。随后用中心差分格式推进速度和位移：

v_(n+1/2) = v_(n−1/2) + a_n · Δt
d_(n+1)   = d_n + v_(n+1/2) · Δt

其中 d 为节点位移，v 为节点速度，a 为节点加速度，Δt 为当前时间步长。由于每一步都只依赖上一步已知量，无需迭代求解，单步计算量小，适合碰撞、冲击等短时强非线性问题。代价是时间步长必须足够小，否则数值解会发散，这就是“条件稳定”的来源。

二、条件稳定与临界时间步长

显式中心差分法的稳定条件要求时间步长不超过临界值。对无阻尼系统，临界时间步长近似为：

Δt_cr ≈ 2 / ω_max

其中 ω_max 是系统最高固有频率。对壳单元，LS-DYNA 常用特征长度与声速估算：

Δt_e = L_e / c
c = sqrt(E / (ρ(1 − ν²)))

这里 L_e 为单元特征长度，c 为材料声速，E 为弹性模量，ρ 为密度，ν 为泊松比。实际计算中，LS-DYNA 会取所有单元中最小的 Δt_e，再乘以安全系数（默认约 0.9）作为全局时间步长。因此，网格中若存在一个很小的单元，整个模型的时间步长都会被它拖慢。

薄壁吸能件常因圆角、翻边或局部细化产生极小单元。检查最小单元尺寸，往往比盲目调整其他参数更能提升计算效率。

三、时间步长控制：让求解既稳定又高效

LS-DYNA 提供多种时间步长控制方式。最常用的是通过 *CONTROL_TIMESTEP 设置初始时间步长、时间步长缩放系数和安全系数。若模型存在极小单元，可启用 DT2MS 进行质量缩放，或使用 *CONTROL_TIMESTEP 中的 ISDO、TSLIMT 等选项控制最小时间步长。时间步长过小会导致计算时间急剧增加；时间步长过大则可能触发负体积、能量异常或计算终止。工程上通常先让 LS-DYNA 自动计算临界步长，再根据计算规模和精度要求决定是否缩放。

四、质量缩放：用可控的质量增加换取时间步长

质量缩放的核心思想是：由 Δt_e = L_e / c 且 c ∝ 1/√ρ，增大密度可降低声速，从而增大临界时间步长。LS-DYNA 中通过 *CONTROL_TIMESTEP 的 DT2MS 指定目标时间步长，程序自动对小于该步长的单元进行质量缩放。质量缩放分为两类：只对小于目标步长的单元缩放，或对所有单元按统一比例缩放。前者更常用，但会引入附加质量。附加质量应控制在模型总质量的 1%～5% 以内，否则惯性效应会显著改变吸能响应。质量缩放后必须检查总质量增加比例和能量曲线，确认结果仍可信。

五、沙漏控制：抑制零能模式

薄壁结构大量使用壳单元和实体单元，若采用单点积分，计算效率高，但会产生沙漏模式——单元在无能量消耗的情况下发生非物理变形。沙漏模式表现为网格出现交替的锯齿状或棋盘状变形，能量曲线中沙漏能异常增长。LS-DYNA 通过 *HOURGLASS 关键字设置沙漏控制，常用类型包括：

类型 1（标准）：适用于大多数壳单元，默认刚度系数约 0.1。
类型 2（Flanagan-Belytschko）：对实体单元和壳单元均适用，稳定性较好。
类型 4（刚度型）：适用于大变形问题，但可能引入过多刚度。
类型 5、6：分别用于特定壳和实体单元，需结合单元类型选择。

判断沙漏是否受控，主要看沙漏能占总内能的比例。一般要求沙漏能低于总内能的 5%，若超过 10% 则结果很可能不可信。控制沙漏的常用手段包括：细化网格、使用全积分单元、调整沙漏系数、优化加载方式避免单点集中力。

六、四个概念的联动关系

这四个概念并非孤立。显式积分决定了必须满足条件稳定；条件稳定给出了临界时间步长的估算公式；时间步长控制是工程上在稳定与效率之间的调节手段；质量缩放通过改变密度来放大临界步长，但会引入附加质量；沙漏控制则针对单点积分带来的数值缺陷进行抑制。实际建模时，建议按以下顺序检查：先确认最小单元尺寸和材料声速，估算临界步长；再决定是否启用质量缩放，并监控附加质量比例；最后检查沙漏能占比和能量守恒情况。若沙漏能超标，优先细化网格或改用全积分单元，而不是一味增大沙漏系数。

质量缩放和沙漏控制都会改变模型的物理响应。任何缩放或控制参数调整后，都应重新检查总质量、沙漏能和内能曲线，不能只看计算是否跑通。

以薄壁圆管轴向压溃为例：管壁厚 1.5 mm，材料为低碳钢，E = 210 GPa，ρ = 7.85e-9 t/mm³，ν = 0.3。由 c = sqrt(E/(ρ(1−ν²))) 估算声速约 5.2e6 mm/s。若最小单元特征长度约 0.8 mm，则 Δt_e ≈ 1.5e-7 s，乘以安全系数 0.9 后全局步长约 1.4e-7 s。若仿真总时长 0.05 s，则需约 3.6e5 步。若将 DT2MS 设为 1e-6 s，程序会对小单元进行质量缩放，使步长提高约 7 倍，计算步数大幅减少，但必须确认附加质量不超过总质量的 5%。这一估算过程，正是显式动力学基础概念在实际吸能仿真中的直接应用。