4. 阻尼对单自由度系统的影响

阻尼单自由度系统的动力学模型

在弹簧-质量系统基础上引入黏性阻尼器，阻尼力与速度成正比、方向与速度相反：F_d = -c·ẋ。单自由度阻尼系统的运动方程为：

m·ẍ + c·ẋ + k·x = 0

将其化为标准形式：ẍ + 2ζωₙ·ẋ + ωₙ²·x = 0，其中固有频率 ωₙ = √(k/m)，阻尼比 ζ = c / (2√(mk))。阻尼比 ζ 是决定响应形态的唯一无量纲参数。

不同阻尼比下的响应形态

取教学示例参数：m = 1.0 kg，k = 100 N/m，则 ωₙ = 10 rad/s。初始条件 x₀ = 0.1 m，ẋ₀ = 0。改变阻尼系数 c 得到不同阻尼比：

阻尼对频率的影响

欠阻尼条件下，有阻尼固有频率 ω_d = ωₙ√(1−ζ²)。ζ = 0.1 时 ω_d ≈ 9.95 rad/s，周期 T_d ≈ 0.631 s；ζ = 0.5 时 ω_d ≈ 8.66 rad/s，周期 T_d ≈ 0.726 s。阻尼使振荡频率降低、周期变长，但影响幅度在 ζ 较小时并不显著。

相邻两个振幅峰值之比的对数衰减率：δ = ln(x₁/x₂) = 2πζ/√(1−ζ²)。ζ = 0.1 时 δ ≈ 0.631，每周期振幅衰减约 47%；ζ = 0.5 时 δ ≈ 3.627，每周期振幅衰减约 97%。

仿真实现与结果判读

用 Python 对上述五种工况进行数值积分，核心代码如下：

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

m, k = 1.0, 100.0
wn = np.sqrt(k / m)          # 10 rad/s
x0, v0 = 0.1, 0.0

def make_ode(c):
    def ode(t, y):
        x, v = y
        return [v, (-c*v - k*x) / m]
    return ode

cases = {'ζ=0': 0.0, 'ζ=0.1': 2.0, 'ζ=0.5': 10.0,
         'ζ=1.0': 20.0, 'ζ=2.0': 40.0}

t_eval = np.linspace(0, 2.0, 2000)
for label, c in cases.items():
    sol = solve_ivp(make_ode(c), [0, 2.0], [x0, v0],
                    t_eval=t_eval, rtol=1e-8, atol=1e-10)
    zeta = c / (2 * np.sqrt(m * k))
    wd = wn * np.sqrt(1 - zeta**2) if zeta < 1 else 0
    print(f"{label}: ζ={zeta:.2f}, ω_d={wd:.2f} rad/s, "
          f"x(2s)={sol.y[0][-1]:.5f} m")

预期输出（教学示例，非实测）：