📚 课程目录第1章材料S-N曲线数据拟合与参数提取

1. 材料S-N曲线数据拟合与参数提取

本案例的目标是：给定一组材料疲劳试验数据（应力幅 Sa 与对应的失效循环数 Nf），拟合 S-N 曲线并提取 Basquin 方程参数。Basquin 方程的标准形式为：

Sa = σf' · (2Nf)^b

其中 σf' 为疲劳强度系数（MPa），b 为疲劳强度指数（负值）。两边取对数后变为线性关系：

lg(Sa) = lg(σf') + b · lg(2Nf)

令 y = lg(Sa)，x = lg(2Nf)，则 y = b·x + lg(σf')，可用最小二乘法直接拟合。

以下为一组教学示例数据（假设为某合金钢旋转弯曲疲劳试验，应力比 R = -1）：

序号	应力幅 Sa (MPa)	失效循环数 Nf	2Nf
1	520	1.2×10⁴	2.4×10⁴
2	460	3.8×10⁴	7.6×10⁴
3	410	1.1×10⁵	2.2×10⁵
4	360	4.5×10⁵	9.0×10⁵
5	310	2.0×10⁶	4.0×10⁶
6	270	8.5×10⁶	1.7×10⁷

对每组数据取对数，得到 x = lg(2Nf) 和 y = lg(Sa)：

用最小二乘法拟合 y = b·x + a（其中 a = lg(σf')）：

拟合方程为：Sa = 10710 · (2Nf)^(-0.2532)

计算决定系数 R²：

R² = 0.9961 表明对数坐标下线性拟合优度很高，Basquin 方程能很好地描述该组数据。

工程判断要点：R² > 0.95 通常认为拟合可接受；若 R² 偏低，需检查是否存在疲劳极限拐点（数据跨越了拐点区域），此时应分段拟合或改用三参数模型。

将拟合参数代入 Basquin 方程，可预测任意循环数下的疲劳强度。例如预测 2Nf = 1×10⁶ 时的应力幅：

Sa = 10710 × (1×10⁶)^(-0.2532) = 10710 × 0.0302 = 323.4 MPa

与试验数据中 2Nf = 9×10⁵ 时 Sa = 360 MPa 相比，预测值偏低约 10%，这是因为拟合线在数据点之间插值，而 1×10⁶ 略超出数据范围。实际使用时建议在数据覆盖范围内插值，外推需谨慎。

注意事项：Basquin 方程仅适用于有限寿命区（高周疲劳）。若数据包含疲劳极限以下的点（循环数超过 10⁷ 仍未失效），这些点不应参与拟合，否则会显著改变斜率 b 的物理意义。