2. 应力应变状态基础
多轴疲劳分析的起点不是寿命公式，而是“一点到底承受了什么”。在单轴拉伸中，我们习惯用一个正应力 σ 描述受力；但在实际构件中，危险点往往同时承受两个方向的正应力和多个方向的切应力，例如传动轴在弯扭复合下工作、压力容器壁在双向拉伸与剪切下工作。此时必须用应力张量完整描述该点的受力状态，否则后续的等效应力、临界面判断和寿命预测都无从谈起。
一、一点应力张量与应变张量
在直角坐标系 O-xyz 中，围绕一点取一个无限小的正六面体微元，每个面上有一个正应力分量和两个切应力分量。利用切应力互等定理（τxy=τyx，τyz=τzy，τzx=τxz），独立分量由 9 个减为 6 个，应力张量可写成对称矩阵：
┌ σx τxy τxz ┐
[σ] = │ τxy σy τyz │
└ τxz τyz σz ┘符号约定：正应力以拉为正、压为负；切应力第一个下标表示作用面法线方向，第二个下标表示应力指向。应变张量与之对应，由正应变 εx、εy、εz 和工程切应变 γxy、γyz、γzx 组成，其中张量切应变为工程切应变的一半。对线弹性各向同性材料，两者通过广义胡克定律联系：
εx = [σx − ν(σy + σz)] / E
γxy = τxy / G , G = E / [2(1 + ν)]这组关系说明：多轴应力状态下的应变不仅取决于同向应力，还受另外两个方向正应力的泊松效应影响，这正是多轴问题区别于单轴问题的根本原因之一。
二、主应力、主应变与应力不变量
微元方位改变时，各面上的应力分量随之变化，但存在三个互相垂直的特殊方向，其切应力为零，只有正应力，这三个方向称为主方向，对应正应力即主应力 σ1≥σ2≥σ3。主应力由特征方程求得：
σ³ − I1σ² + I2σ − I3 = 0
I1 = σx + σy + σz
I2 = σxσy + σyσz + σzσx − τxy² − τyz² − τzx²
I3 = det[σ]I1、I2、I3 称为应力张量第一、第二、第三不变量，它们不随坐标系旋转而改变，因此是描述一点应力状态最本质的量。工程上常用的von Mises 等效应力和最大切应力都可由不变量或主应力直接表达：
σeq = √( (σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)² ) / √2
τmax = (σ1 − σ3) / 2主应变 ε1、ε2、ε3 与主应力方向一致（各向同性材料），可由应变张量同样求特征值得到。需要注意：塑性变形时体积近似不可压缩，ε1+ε2+ε3≈0，这一约束在缺口根部应变分析中非常有用。
三、莫尔圆：把张量“画”出来
莫尔圆是二维应力状态最直观的图解工具。以正应力 σ 为横轴、切应力 τ 为纵轴，对每个主平面组合可画出三个圆，任意斜截面上的 (σ, τ) 必落在三个圆围成的阴影区域内。三个圆的半径分别为 (σ1−σ2)/2、(σ2−σ3)/2、(σ1−σ3)/2，最大圆半径即 τmax。
莫尔圆的价值在于：它能一眼看出危险截面的方位和量值。例如纯扭转时 σ1=τ、σ3=−τ，最大切应力出现在与轴线成 45° 的面上；而拉扭复合时，最大切应力面会偏离 45°，这正是临界面法判断裂纹萌生方向的依据。
四、多轴载荷的描述方式
有了应力张量和主应力，还需要描述“载荷随时间怎么变”。多轴载荷按主应力方向是否变化分为两类：
- 比例加载：各载荷分量按同一比例同步变化，主应力方向在加载过程中保持不变。例如拉扭试验机以固定比例同时加载轴向力和扭矩，此时应力路径在 σ-τ 平面上是一条直线，可用单一等效参量（如 von Mises 等效应力幅）描述。
- 非比例加载：各分量幅值比或相位不同步，主应力方向随时间旋转。例如轴向与扭转载荷存在 90° 相位差，应力路径在 σ-τ 平面上形成一个椭圆或环。此时即使等效应力幅相同，疲劳寿命也明显低于比例加载，因为材料内部多个滑移系被交替激活，裂纹萌生更快。
工程上常用三个量刻画多轴载荷：载荷比 R（最小与最大应力之比）、相位差 φ（如轴向与扭转的相位角）、路径形状（直线、椭圆、菱形等）。以某传动轴危险点为例，假设测得轴向应力 σx=120 MPa、切应力 τxy=80 MPa，且两者同相位（比例加载）。按平面应力状态计算主应力：
σ1,3 = σx/2 ± √[ (σx/2)² + τxy² ]
= 60 ± √(3600 + 6400) = 60 ± 100
σ1 = 160 MPa , σ3 = −40 MPa , σ2 = 0
τmax = (160 − (−40))/2 = 100 MPa
σeq = √(160² + 40² − 160×(−40)) ≈ 187 MPa若改为非比例加载，例如 τxy 与 σx 相位差 90°，则主应力方向在一个循环内旋转，τmax 的幅值可能仍接近 100 MPa，但临界面不断变化，实际损伤会高于按比例加载估算的结果。这正是多轴疲劳分析必须区分载荷路径的原因。