3. 代码验证

网格收敛性分析的任务定位

网格收敛性分析（Grid Convergence Study）是代码验证中针对空间离散误差的核心手段。它不验证物理模型是否正确，而是回答一个更基础的问题：当网格逐步加密时，数值解是否以理论精度阶收敛到网格无关解。若观测收敛阶与离散格式的理论阶一致，说明空间离散代码实现正确；若显著偏离，则代码可能存在实现缺陷或解未进入渐近收敛区。

本案例以一个二维稳态热传导问题为对象，采用有限体积法离散，中心差分格式，理论空间精度阶 p_theory = 2。通过三套系统加密网格计算离散误差，用 Richardson 外推估计观测收敛阶，并与理论阶比较。

分析对象与离散误差定义

考虑单位正方形区域上的泊松方程：

∇²T = f(x,y)，  (x,y) ∈ [0,1]×[0,1]
T = 0，         边界上

选取制造解 T_exact = sin(πx)·sin(πy)，对应源项 f = -2π²·sin(πx)·sin(πy)。该解在边界上为零，满足边界条件，且光滑性足够，适合做网格收敛性分析。

离散误差定义为数值解与精确解在网格节点上的 L2 范数：

e_h = sqrt( (1/N) · Σ (T_num,i - T_exact,i)² )

其中 N 为节点总数，h 为网格特征尺寸。对均匀网格，h = 1/(n-1)，n 为每方向节点数。

网格序列与收敛阶计算

采用三套网格：n = 21、41、81，对应 h = 0.05、0.025、0.0125。网格加密比 r = 2。对每套网格运行求解器，得到离散误差 e₁、e₂、e₃。

观测收敛阶用三点公式计算：

p_obs = log( (e₁/e₂) ) / log(r)   （用前两套网格）
或更稳健的：
p_obs = log( (e₁ - e₂)/(e₂ - e₃) ) / log(r)   （三点公式，适用于单调收敛）

若解处于渐近收敛区，p_obs 应接近理论阶 2。判据：|p_obs - p_theory| ≤ 0.2 视为通过。

网格无关性结论

网格无关性（Grid Independence）指继续加密网格后，关注量（如最大温度、热流密度）的变化小于给定容差。本案例中，用 Richardson 外推估计 h→0 的极限值：

T_extrap ≈ T_3 + (T_3 - T_2)/(r^p - 1)

若 |T_3 - T_extrap| / |T_extrap| < 1%，且 p_obs 接近理论阶，则可给出网格无关性结论：n=81 网格已足够，继续加密对结果影响可忽略。

执行要点与常见陷阱

• 网格必须系统加密：加密比 r 保持常数（通常取 2 或 √2），避免非均匀加密导致收敛阶估计失真。
• 确保进入渐近收敛区：最粗网格的误差应足够小，使高阶项可忽略。若 p_obs 随网格变化，说明尚未进入渐近区，需继续加密。
• 误差范数选择：L2 范数对整体误差敏感，L∞ 范数对局部最大误差敏感。代码验证通常用 L2，网格无关性关注量可用 L∞。
• 不要用同一套网格反复计算：必须实际生成不同分辨率的网格并独立求解，不能通过插值伪造。
• 边界条件处理：边界节点误差通常比内部节点大，若边界处理降阶，整体收敛阶会被拉低。可分别统计内部与边界误差定位问题。