2. 设计空间与参数化基础

在拓扑尺寸形状联合优化中，最先要回答的问题不是“用什么算法”，而是“设计变量到底长什么样”。如果变量定义得含糊，后续的灵敏度推导、优化求解和结果解释都会失去根基。本节把三类变量——拓扑变量、尺寸变量、形状变量——的参数化方式逐一拆开，再讨论如何把它们放进同一个设计空间。

一、三类设计变量的本质差异

拓扑变量回答的是“材料在哪里”。最常见的参数化是密度法：把设计域离散成有限元网格，每个单元赋予一个密度变量 ρ_e ∈ [0,1]，0 表示空，1 表示实。为避免中间密度，通常引入 SIMP 插值，把单元刚度写成 E_e = E_min + ρ_e^p(E₀ − E_min)，其中惩罚因子 p 常取 3。另一种是水平集法：用标量函数 φ(x) 的零等值线描述结构边界，拓扑变化通过 φ 的演化自然发生，边界表达更光滑，但需要求解 Hamilton-Jacobi 方程。

尺寸变量回答的是“截面或厚度是多少”。它通常依附于已有构件，例如桁架杆的截面积 A_i、板件的厚度 t_j、梁的截面惯性矩 I_k。尺寸变量是连续标量，上下限明确，物理意义直接，灵敏度也最容易求得。

形状变量回答的是“边界或骨架往哪里移动”。常见参数化有三类：一是节点坐标法，直接让有限元网格节点位置 x_n 成为变量；二是样条控制点法，用 B 样条或 NURBS 的控制点坐标控制边界曲线；三是特征尺寸法，用孔半径、圆角半径、拱高等几何特征参数描述形状。形状变量改变的是几何本身，因此网格需要随动或重划分。

二、统一设计空间的构建原则

三类变量量纲不同、尺度差异大，直接混在一起优化极易出现“某一类变量主导迭代”的问题。构建统一设计空间时，建议遵循四条原则。

• 归一化原则：把所有变量映射到同一量级。例如密度 ρ_e 本身在 [0,1]，尺寸变量可写成 A_i/A_ref，形状变量可写成 Δx_n/L_ref，使各分量初始值都在 0.1～1 附近。
• 分层耦合原则：拓扑决定“有没有材料”，尺寸决定“材料多厚”，形状决定“边界在哪”。三者存在天然层级，优化时可采用“拓扑粗调—尺寸精调—形状微调”的交替策略，而非一次性全部放开。
• 可微性原则：统一空间中的目标函数和约束必须对全部变量可导。密度法需处理中间密度的灵敏度；形状变量需处理网格变形带来的导数；若采用水平集，则需用形状导数替代普通偏导。
• 约束一致原则：体积约束、应力约束、制造约束要同时作用于三类变量。例如体积约束 V(ρ, A, x) ≤ V₀，必须把尺寸和形状对体积的贡献一并计入，否则优化结果会通过“偷偷加厚”绕过体积限制。

三、一个可操作的教学示例

考虑一个 200 mm × 100 mm 的悬臂梁设计域，左端固定，右端中部受集中力 F = 500 N。设计域离散为 80 × 40 的四边形单元，单元尺寸 2.5 mm。三类变量定义如下：

拓扑变量：ρ_e ∈ [0.001, 1.0]，共 3200 个，初始 0.5
尺寸变量：主筋厚度 t ∈ [1, 8] mm，共 3 个，初始 4 mm
形状变量：右端加载点纵向偏移 Δy ∈ [-20, 20] mm，共 1 个，初始 0
参考量：A_ref = 4 mm，L_ref = 100 mm
归一化后：t_norm = t/4，Δy_norm = Δy/100
体积约束：V ≤ 0.4 × V_domain

迭代时先固定尺寸和形状，对密度场做 30 步拓扑优化；再固定拓扑，对 t 和 Δy 做 10 步尺寸形状优化；交替 5 轮。判断收敛的依据是：连续两轮目标柔度变化小于 1%，且体积约束满足。若某轮体积超限，优先回退尺寸变量，因为尺寸对体积的贡献是线性的，调整最直接。

四、统一设计空间的结构关系

下图把三类变量的参数化方式、归一化映射、耦合关系和统一设计向量组织在一起，便于对照理解。

把三类变量放进统一设计空间后，优化问题可以写成：min f(X) = 柔度，s.t. V(X) ≤ V₀，0.001 ≤ ρ_e ≤ 1，1 ≤ t ≤ 8，−20 ≤ Δy ≤ 20。求解时使用 MMA 或 SLP，梯度由伴随法统一给出。这样，拓扑、尺寸、形状就不再是三套独立流程，而是同一个设计向量上的联合搜索。

总结来说，拓扑变量管“有无”，尺寸变量管“厚薄”，形状变量管“位置”；统一设计空间的关键是归一化、分层耦合、可微和约束一致。把这四点落实，后续的联合优化才有稳定的数值基础。