📚 课程目录第3章试验设计基础与采样策略

3. 试验设计基础与采样策略

响应面代理模型的质量，首先取决于我们喂给它的样本点。样本点选在哪里、选多少、如何分布，直接决定了模型能否捕捉到设计空间中的真实趋势。试验设计（Design of Experiments, DOE）正是解决这一问题的系统方法。本节将围绕四类常用采样策略展开：全因子设计、中心复合设计（CCD）、Box-Behnken设计（BBD）和拉丁超立方采样（LHS），并分析它们对响应面质量的具体影响。

一、全因子设计：穷举的基准

全因子设计（Full Factorial Design）在每个因子的每个水平上都进行组合试验。若因子数为 k，每个因子取 L 个水平，则总试验次数为 L^k。例如，3因子2水平全因子需要 2³=8 次试验；若改为3水平，则需 3³=27 次。

全因子设计的优势在于：它能无遗漏地估计所有主效应和交互效应，是评估其他设计方法效率的基准。但缺点同样明显——试验次数随因子数指数增长。当因子数达到6个、水平为3时，试验次数将飙升至729次，在工程仿真中往往不可接受。因此，全因子设计通常用于因子数较少（≤4）且需要精确估计高阶交互的场景。

二、中心复合设计（CCD）：响应面法的经典方案

中心复合设计是响应面方法论中最常用的二阶设计。它由三部分构成：

因子点（Factorial Points）：通常取2水平全因子或部分因子设计，位于设计空间各维度的±1处；
轴向点（Axial/Star Points）：沿每个坐标轴在±α处取点，α为星点臂长，决定设计的旋转性或正交性；
中心点（Center Points）：在所有因子取零水平处重复若干次，用于估计纯误差和检验模型失拟。

对于 k 个因子，CCD的试验次数为 2^k（或 2^k-1 部分因子） + 2k 个轴向点 + n_c 个中心点。以3因子为例，若采用全因子基底，则试验次数为 8+6+n_c。当取 n_c=6 时，共20次试验，远少于3³=27的全因子三水平设计。

CCD的关键参数是星点臂长 α。若取 α = (2^k)^1/4，设计具有旋转性——预测方差仅与点到中心的距离有关，而与方向无关。若取 α = 1，则轴向点落在因子水平面上，称为面心CCD（Faced CCD），适用于因子水平不能超出原定范围的场景。

三、Box-Behnken设计（BBD）：避免极端角点

Box-Behnken设计是一种不包含角点（即所有因子同时取极值）的三水平设计。它的样本点分布在设计空间各棱边的中点以及中心点。对于3因子，BBD需要12个边中点加若干中心点，通常共15~17次试验。

BBD的优势在于：当某些因子组合在实际中无法实现或代价极高时（例如高温高压同时出现的极端工况），BBD避免了这些角点，同时仍能拟合完整的二次响应面。其缺点是：由于缺少角点，BBD对设计空间角落区域的预测能力较弱，且无法估计某些高阶交互项。因此，BBD更适合因子范围安全、但角点组合不可行的场景。

四、拉丁超立方采样（LHS）：空间填充的利器

拉丁超立方采样属于空间填充设计，与前述基于多项式回归的设计思路不同。LHS将每个因子的取值范围等分为 N 个区间，在每个区间内随机取一个样本点，并保证每个因子的每个区间恰好被采样一次。这样，N 个样本点在每个维度上的投影都是均匀分布的。

LHS的核心优势是：对于 k 个因子，仅需 N 个样本点（N 可自由设定，通常取 10k 至 20k），即可获得较好的空间覆盖。它不依赖于预设的多项式模型阶数，因此特别适合高维、非线性强、或模型形式未知的代理模型（如Kriging、径向基函数、神经网络）。

但标准LHS存在一个问题：随机采样可能导致样本点在空间中出现聚集或空洞。为此，工程中常采用优化LHS，如最大化最小距离准则（Maximin）、最小化最大距离准则（Minimax）或采用拉丁超立方结合遗传算法优化。此外，正交拉丁超立方（OLHS）还能保证各因子间的低相关性，避免设计矩阵出现病态。

五、采样策略对响应面质量的影响

不同设计方法对响应面质量的影响可以从三个维度衡量：

1. 模型偏差与方差。全因子和CCD基于多项式回归，若真实响应为低阶多项式，则模型偏差小；但若真实响应高度非线性，多项式模型会产生较大偏差。LHS配合Kriging等非参数模型，则能自适应地捕捉复杂非线性，但需要更多样本才能降低方差。

2. 设计空间的覆盖均匀性。全因子在网格点上均匀，但网格之间可能存在大片未采样区域。LHS通过分层保证每个因子的边缘分布均匀，但标准LHS仍可能出现局部聚集。CCD和BBD的样本点集中在中心附近和轴向，对边界区域的覆盖相对薄弱。

3. 对模型失拟的检测能力。中心点的重复试验提供了纯误差估计，使得CCD和BBD能够通过失拟检验判断二次模型是否充分。LHS通常不包含重复点，需依赖交叉验证来评估模型泛化能力。

实践建议：若因子数≤4且需要精确的二次响应面，优先选择CCD（可旋转）或BBD（避免角点）。若因子数≥5或响应高度非线性，优先选择优化LHS配合Kriging。若需估计所有交互效应且因子数≤3，全因子设计仍是可靠基准。

六、一个可执行的采样方案示例

假设我们需要对某换热器的3个设计变量进行响应面建模：翅片间距 s ∈ [1.5, 3.5] mm、翅片厚度 t ∈ [0.1, 0.3] mm、入口流速 v ∈ [2, 8] m/s。目标响应为换热系数 h 和压降 Δp。

若采用面心CCD（α=1），编码后的因子水平为-1、0、+1。试验矩阵如下（编码值）：

样本   s_code  t_code  v_code
1      -1      -1      -1
2      +1      -1      -1
3      -1      +1      -1
4      +1      +1      -1
5      -1      -1      +1
6      +1      -1      +1
7      -1      +1      +1
8      +1      +1      +1
9      -1       0       0
10     +1       0       0
11      0      -1       0
12      0      +1       0
13      0       0      -1
14      0       0      +1
15      0       0       0
16      0       0       0
17      0       0       0

共17次仿真。其中第15~17次为中心点重复，用于估计纯误差。完成仿真后，拟合二次模型 h = β₀ + Σβᵢxᵢ + Σβᵢᵢxᵢ² + Σβᵢⱼxᵢxⱼ，并检查调整R²和失拟p值。若失拟检验p值大于0.05，说明二次模型充分；若小于0.05，则需考虑增加样本或改用Kriging模型。

若改用LHS，取N=30，则每个因子被等分为30个区间，每个区间内随机取一个值，并保证三个因子的采样区间一一对应。LHS的样本点不会像CCD那样集中在中心，而是散布在整个设计空间。对于换热器这类响应可能高度非线性的问题，LHS配合Kriging往往能获得更低的预测误差，但需要更多的仿真次数（30次 vs 17次）。

注意：无论采用哪种设计，样本点的编码与解码必须一致。编码时通常将因子线性映射到[-1, +1]或[0, 1]区间，建模完成后需将预测结果反变换回原始物理量。若因子范围不对称或存在物理约束，应在采样前明确边界，避免生成不可行样本。

总结来说，全因子、CCD、BBD和LHS各有其适用边界。选择采样策略时，应综合考虑因子数、响应非线性程度、仿真成本、以及代理模型的类型。没有一种设计是万能的，但理解它们对响应面质量的影响机制，能够帮助我们在工程实践中做出更合理的决策。