2. 二维稳态热传导的网格独立性分析
问题设定与网格独立性判据
考虑一个边长 L = 0.2 m 的二维方形域，材料导热系数 k = 45 W/(m·K)。左边界 x = 0 为高温壁 T = 400 K，右边界 x = L 为低温壁 T = 300 K，上下边界绝热。该问题存在一维解析解 T(x) = 400 - 500x，热流密度恒为 q = -k·dT/dx = 22500 W/m²，因此可以用解析值作为网格独立性的参照基准。
网格独立性分析的核心是：逐步加密网格，观察关键输出量（最高温度、最低温度、平均热流密度）随网格规模的变化。当进一步加密网格时，输出量的相对变化小于设定容差（本例取 0.5%），即可认为网格已收敛。需要注意，温度场本身对网格不敏感（线性分布），而热流密度由温度梯度计算，对网格质量更敏感，因此应以热流密度作为主要判据。
COMSOL 操作要点与网格序列设置
在 COMSOL 中建立该模型时，使用“传热传质”模块下的“固体传热”接口，研究类型选择“稳态”。几何创建为 0.2 m × 0.2 m 的矩形。材料参数直接输入 k = 45 W/(m·K)，密度和比热容对稳态问题无影响，可保留默认值。
边界条件设置：左边界选“温度”并输入 400 K，右边界选“温度”并输入 300 K，上下边界保持默认的“热绝缘”。初始值可设为 350 K，对稳态求解结果无影响。
网格序列通过“网格”节点下的“映射”或“自由三角形”生成。为系统研究网格独立性，建议创建参数化扫描或手动修改“单元大小”中的“最大单元大小”。具体操作：在“网格”节点下将“序列类型”设为“用户控制网格”，然后在“大小”子节点中设置“最大单元大小”为 L/4、L/8、L/16、L/32，分别对应 16、64、256、1024 个四边形单元（使用映射网格时）。每次修改后重新求解，记录右边界的热流密度值。
结果提取与收敛判断
求解完成后，通过“结果”下的“派生值”提取右边界的热流密度。具体路径：右键“派生值” → “线积分” → 选择右边界 → 表达式输入 ht.ntflux（法向热流密度）或直接使用 -k*Tx。同时提取域内最高温度和最低温度，确认温度场是否始终为 400 K 和 300 K。
将四次网格规模下的热流密度记录如下表（示例数据，基于上述参数的理论趋势）：
| 网格尺寸 h | 单元数 | q (W/m²) | 相对变化 | 是否满足 < 0.5% |
|---|---|---|---|---|
| L/4 | 16 | 19800 | — | — |
| L/8 | 64 | 21400 | 8.1% | 否 |
| L/16 | 256 | 22400 | 4.7% | 否 |
| L/32 | 1024 | 22480 | 0.36% | 是 |
可复现的检查清单
- 确认几何尺寸为 0.2 m × 0.2 m，材料 k = 45 W/(m·K)。
- 左边界 400 K，右边界 300 K，上下边界热绝缘。
- 使用映射网格，依次设置最大单元大小为 L/4、L/8、L/16、L/32。
- 每次求解后提取右边界热流密度，计算相邻网格的相对变化。
- 当相对变化 < 0.5% 时，记录当前网格规模为最小可用网格。
- 验证温度场最高/最低值始终为 400 K / 300 K，确认边界条件正确。