2. 旋转机械流体力学基础

旋转机械内部流动与一般管流最大的区别在于：叶轮在旋转，流体质点既随叶轮一起转动，又在叶道中做相对运动。要正确描述这种流动，必须先把守恒定律写成适合旋转参考系的形式，并厘清绝对速度与相对速度之间的换算关系。本节从控制方程出发，逐步过渡到旋转坐标系下的表达，为后续叶轮内流场建模打下基础。

一、连续方程：质量守恒的微分表达

连续方程的本质是质量守恒。取一个固定在空间中的微元控制体，单位时间内流入与流出的质量差，等于控制体内质量的变化率。对可压缩非定常流动，其微分形式为：

∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0

其中 ρ 为密度，V 为速度矢量。对于旋转机械中常见的不可压缩流动（如水泵、风机在低速工况下），密度近似为常数，方程简化为：

∇·V = 0   即   ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0

这一形式说明：不可压缩流场中速度散度为零，流体既不能凭空产生，也不能在某点堆积。在 CFD 中，连续方程通常不直接求解，而是作为压力修正方程（如 SIMPLE 算法）的约束条件，通过迭代使速度场满足质量守恒。

二、动量方程：牛顿第二定律的流体表达

动量方程描述流体微元所受合力与其动量变化率的关系。对牛顿流体，考虑压力、黏性力和体积力后，可写成 Navier–Stokes 方程：

ρ(∂V/∂t + V·∇V) = -∇p + μ∇²V + f

式中 p 为压力，μ 为动力黏度，f 为单位体积体积力（如重力）。左侧是惯性项，其中 V·∇V 为对流项，它使方程非线性，也是湍流和旋涡产生的根源；右侧依次为压力梯度力、黏性扩散力和体积力。旋转机械中，叶轮通道内强烈的曲率和旋转效应，使对流项和科氏力项都不能忽略。

三、能量方程：包含机械能与内能

能量方程表达总能量守恒。对旋转机械，常关注的是机械能形式，即伯努利方程在旋转叶轮中的推广。忽略黏性耗散时，沿相对流线有：

p/ρ + w²/2 - U²/2 + gz = 常数

其中 w 为相对速度，U 为圆周速度。这一形式说明：在相对参考系中，流体获得的静压升高，来自相对速度的降低和圆周速度（即离心力做功）的增加。这正是离心泵和压气机能够提升流体压力的物理基础。若考虑黏性和换热，则需回到完整能量方程，把内能、导热和耗散项一并计入。

四、旋转坐标系下的控制方程

把参考系固定在叶轮上，以角速度 ω 旋转，则绝对速度 V 与相对速度 W 满足：

V = W + U,   U = ω × r

其中 U 为牵连速度（圆周速度），r 为位置矢量。将这一关系代入动量方程，会额外出现两项惯性力：科氏力 2ω×W 和离心力 ω×(ω×r)。因此旋转坐标系下的动量方程为：

ρ(∂W/∂t + W·∇W) = -∇p + μ∇²W - 2ρω×W - ρω×(ω×r)

在 CFD 中，若采用多参考系（MRF）或滑移网格方法，叶轮区域就在旋转坐标系下求解，而蜗壳、进出口段仍在静止坐标系下求解，两区域通过交界面传递通量。理解这两项的来源，有助于判断叶轮内压力分布和二次流形态。

五、相对速度与绝对速度的关系

速度三角形是旋转机械分析的核心工具。绝对速度 V 是相对速度 W 与牵连速度 U 的矢量和，三者构成闭合三角形。在叶轮进口，通常已知绝对速度方向（由来流决定）和圆周速度大小（由转速和半径决定），由此可求出相对速度方向，即相对流动角 β₁。在叶轮出口，则反过来由叶片几何角确定相对速度方向，再合成绝对速度，得到出口绝对流动角 α₂。

以某离心泵叶轮为例（示例参数）：转速 n = 2900 r/min，叶轮外径 D₂ = 0.2 m，则出口圆周速度 U₂ = πD₂n/60 ≈ 30.4 m/s。若出口相对速度径向分量 w_r2 = 4 m/s，叶片出口角 β₂ = 30°，则 w_u2 = w_r2 / tanβ₂ ≈ 6.9 m/s，绝对速度切向分量 v_u2 = U₂ − w_u2 ≈ 23.5 m/s。这一数值直接决定泵的理论扬程，是判断叶轮做功能力的关键。

六、方程在 CFD 中的落地方式

实际求解时，连续方程和动量方程耦合求解，能量方程根据是否考虑传热决定是否开启。旋转区域通过 MRF 或滑移网格引入科氏力和离心力源项。判断收敛时，除残差下降外，还应监测叶轮进出口质量流量差（应小于总流量的 0.5%）和扬程/压比是否稳定。若质量不守恒，优先检查交界面设置和旋转区域网格质量，而不是盲目增加迭代步数。

掌握这组方程和速度关系，才能在后续建模中正确设置旋转区域、边界条件和后处理参考系，避免因参考系混用导致流场误判。