3. 非对称加密算法基础

非对称加密（Asymmetric Cryptography）是现代密码学的重要基石。与对称加密使用单一密钥不同，非对称加密使用一对密钥：公钥（Public Key） 和 私钥（Private Key）。公钥可以公开分发，私钥必须严格保密。这一特性使得密钥分发问题得到根本解决，并为数字签名、密钥交换等安全服务提供了基础。

3.1 RSA 算法原理

RSA 算法由 Rivest、Shamir 和 Adleman 于 1977 年提出，是应用最广泛的非对称加密算法。其安全性基于大整数分解的数学难题：给定两个大素数 p 和 q 的乘积 n，在不知道 p 和 q 的情况下，分解 n 在计算上是不可行的。

3.1.1 密钥生成

RSA 密钥生成过程包含以下步骤：

1. 选择大素数：随机选择两个大素数 p 和 q，通常要求 p ≠ q，且长度相近（如 1024 位）。
2. 计算模数 n：n = p × q。n 的二进制长度即为 RSA 密钥长度（如 2048 位）。
3. 计算欧拉函数 φ(n)：φ(n) = (p-1) × (q-1)。
4. 选择公钥指数 e：选择一个整数 e，满足 1 < e < φ(n)，且 gcd(e, φ(n)) = 1（即 e 与 φ(n) 互质）。常用 e = 65537（0x10001），因其二进制表示中只有两个 1，可加速加密运算。
5. 计算私钥指数 d：计算 e 关于模 φ(n) 的乘法逆元，即 d ≡ e⁻¹ (mod φ(n))，满足 e × d ≡ 1 (mod φ(n))。

最终，公钥为 (n, e)，私钥为 (n, d)。p、q、φ(n) 必须安全销毁或严格保密。

3.1.2 加密与解密

RSA 加密和解密基于模幂运算。假设明文为 m，密文为 c：

• 加密：c = m^e mod n（使用公钥 (n, e)）
• 解密：m = c^d mod n（使用私钥 (n, d)）

RSA 算法要求明文 m 必须满足 0 ≤ m < n。实际应用中，RSA 通常不直接加密原始数据，而是加密对称密钥（密钥封装）或消息摘要（数字签名）。

3.1.3 数字签名

RSA 数字签名是加密过程的逆用：

• 签名：使用私钥 (n, d) 对消息哈希值 h 进行签名：s = h^d mod n。
• 验签：使用公钥 (n, e) 计算 h' = s^e mod n，并与原始消息哈希值 h 比较。若相等，则签名有效。

数字签名提供身份认证、数据完整性和不可否认性。实际应用中，签名前需对消息进行哈希处理（如 SHA-256），并遵循 PKCS#1 v2.2 等填充标准（如 PSS 填充模式）。

3.2 ECC 椭圆曲线密码学简介

椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是一种基于椭圆曲线数学理论的公钥密码体制。ECC 在 1985 年由 Neal Koblitz 和 Victor Miller 分别独立提出。其核心优势在于：在提供相同安全等级的前提下，ECC 的密钥长度远小于 RSA，从而带来更快的计算速度和更低的存储开销。

3.2.1 椭圆曲线基础

密码学中使用的椭圆曲线通常定义在有限域 F_p（p 为大素数）上，其方程为：

y² = x³ + ax + b (mod p)
其中 4a³ + 27b² ≠ 0 (mod p)，确保曲线无奇异点

椭圆曲线上的点构成一个阿贝尔群，群运算包括：

• 点加法：曲线上两点 P 和 Q 的连线与曲线交于第三点 R'，R' 关于 x 轴的对称点即为 P + Q。
• 标量乘法：k × P = P + P + ... + P（k 次），这是 ECC 的核心运算。

3.2.2 ECC 密钥生成与安全性

ECC 密钥生成过程：

1. 选择一条椭圆曲线 E 和基点 G（阶为 n）。
2. 随机选择私钥 d（1 ≤ d < n）。
3. 计算公钥 Q = d × G。

ECC 的安全性基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）：已知基点 G 和公钥 Q，求解私钥 d 使得 Q = d × G 在计算上是不可行的。目前，ECDLP 没有已知的亚指数时间攻击算法，因此 ECC 在同等安全强度下密钥长度更短。

3.3 DH 密钥交换协议

Diffie-Hellman（DH）密钥交换协议由 Whitfield Diffie 和 Martin Hellman 于 1976 年提出，是第一个公钥密码协议。它允许通信双方在不安全的信道上协商出一个共享密钥，而该密钥可被用于后续的对称加密通信。

3.3.1 协议原理

DH 协议基于离散对数问题（DLP）的难解性。协议流程如下：

1. 全局参数：双方协商一个大素数 p 和生成元 g（g 是模 p 的原根）。
2. 生成私钥：Alice 随机选择私钥 a（1 ≤ a ≤ p-2），Bob 随机选择私钥 b。
3. 计算公钥：Alice 计算 A = g^a mod p，Bob 计算 B = g^b mod p。
4. 交换公钥：Alice 将 A 发送给 Bob，Bob 将 B 发送给 Alice。
5. 计算共享密钥：Alice 计算 K = B^a mod p = (g^b)^a mod p = g^ab mod p；Bob 计算 K = A^b mod p = (g^a)^b mod p = g^ab mod p。

最终，Alice 和 Bob 得到相同的共享密钥 K，而窃听者即使截获 p、g、A、B，也无法在合理时间内计算出 K。

3.3.2 椭圆曲线 Diffie-Hellman（ECDH）

ECDH 是 DH 协议在椭圆曲线上的变体，利用 ECC 的高效性实现密钥交换：

• 全局参数：椭圆曲线 E、基点 G、阶 n。
• 私钥：Alice 选择 d_A，Bob 选择 d_B。
• 公钥：Alice 计算 Q_A = d_A × G，Bob 计算 Q_B = d_B × G。
• 共享密钥：Alice 计算 K = d_A × Q_B = d_A × d_B × G；Bob 计算 K = d_B × Q_A = d_B × d_A × G。

ECDH 在 TLS 1.3、SSH、IPsec 等协议中作为密钥交换的标准方案，提供前向安全性（Perfect Forward Secrecy, PFS）。