3. 非对称密码基础：公钥密码学原理、RSA算法、椭圆曲线密码学（ECC）、密钥对生成

3.1 公钥密码学核心原理

公钥密码学（Public-Key Cryptography）是现代安全通信的基石，它解决了对称密码中密钥分发与管理的核心难题。其核心思想是使用一对数学上相关但无法相互推导的密钥：公钥（Public Key）和私钥（Private Key）。

• 公钥：公开分发，用于加密数据或验证签名。
• 私钥：秘密持有，用于解密数据或生成签名。

公钥密码学必须满足以下三个基本条件：

1. 单向性：从公钥无法在计算可行的时间内推导出私钥。
2. 陷门性：拥有私钥（陷门信息）可以轻松完成解密或签名操作。
3. 正确性：使用公钥加密后，必须能用对应的私钥解密恢复原文。

3.2 RSA算法

RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是1977年提出的第一个实用的公钥密码算法，其安全性基于大整数分解难题（Factoring Problem）：给定两个大素数 p 和 q 的乘积 n，在不知道 p 和 q 的情况下，分解 n 是计算上不可行的。

3.2.1 密钥生成步骤

1. 选择大素数：随机选择两个大素数 p 和 q（通常为 1024 位以上）。
2. 计算模数：n = p × q。
3. 计算欧拉函数：φ(n) = (p-1) × (q-1)。
4. 选择公钥指数：选择一个整数 e，满足 1 < e < φ(n) 且 gcd(e, φ(n)) = 1（通常取 e = 65537）。
5. 计算私钥指数：计算 d ≡ e⁻¹ mod φ(n)，即 d 是 e 模 φ(n) 的乘法逆元。

最终：公钥为 (n, e)，私钥为 (n, d)。

3.2.2 加密与解密

• 加密：c = m^e mod n（m 为明文，c 为密文）
• 解密：m = c^d mod n

3.2.3 RSA 算法流程

3.3 椭圆曲线密码学（ECC）

椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是另一种重要的公钥密码体系，其安全性基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）。ECC 在同等安全强度下，密钥长度远小于 RSA，计算效率更高。

3.3.1 椭圆曲线定义

在有限域 F_p 上，椭圆曲线由 Weierstrass 方程定义：

y² = x³ + ax + b (mod p)
其中 4a³ + 27b² ≠ 0 (mod p)

椭圆曲线上的点构成一个阿贝尔群，群运算包括：

• 点加法：P + Q = R（几何意义为过 P、Q 的直线与曲线的第三个交点关于 x 轴的对称点）
• 标量乘法：kP = P + P + ... + P（k 次点加法）

3.3.2 ECC 密钥对生成

1. 选择曲线参数：选择有限域 F_p 上的椭圆曲线 E，以及基点 G（阶为 n）。
2. 生成私钥：随机选择一个整数 d ∈ [1, n-1] 作为私钥。
3. 计算公钥：计算 Q = d × G，Q 即为公钥（椭圆曲线上的一个点）。

3.3.3 RSA 与 ECC 安全强度对比

3.4 密钥对生成实践

在实际系统中，密钥对生成需要结合真随机数生成器（TRNG）或密码学安全的伪随机数生成器（CSPRNG），确保私钥的不可预测性。

3.4.1 密钥对生成流程

3.4.2 代码示例：使用 OpenSSL 生成密钥对

# 生成 RSA 2048 位私钥
openssl genpkey -algorithm RSA -pkeyopt rsa_keygen_bits:2048 -out private_rsa.pem

# 从私钥提取公钥
openssl pkey -in private_rsa.pem -pubout -out public_rsa.pem

# 生成 ECC P-256 私钥
openssl genpkey -algorithm EC -pkeyopt ec_paramgen_curve:P-256 -out private_ecc.pem

# 从私钥提取公钥
openssl pkey -in private_ecc.pem -pubout -out public_ecc.pem

# 查看密钥详细信息
openssl pkey -in private_rsa.pem -text -noout
openssl pkey -in private_ecc.pem -text -noout

3.5 公钥密码学对比总结