📚 课程目录第2章圆弧插补半径误差分析

2. 圆弧插补半径误差分析

任务目标

实现圆弧插补算法，生成不同半径圆弧的插补点，计算插补点与理论圆弧之间的径向误差，并绘制误差随半径变化的曲线，以分析半径对插补精度的影响。

核心实现

采用时间分割插补法（数据采样法），以固定插补周期 T 和进给速度 F 计算每周期步长，通过弦高误差模型分析半径与误差的关系。核心代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def arc_interpolate(radius, center=(0,0), start_angle=0, end_angle=2*np.pi,
                    feedrate=100, period=0.001):
    """
    圆弧插补（时间分割法）
    返回：插补点列表 (Nx2 array)，理论圆弧角度列表
    """
    # 每周期步长
    step = feedrate * period  # mm
    # 角步长（近似，实际应使用弧长公式，此处为小角度近似）
    d_angle = step / radius if radius > 0 else 0

    angles = []
    angle = start_angle
    while angle < end_angle:
        angles.append(angle)
        angle += d_angle
    # 确保终点包含
    if angles[-1] < end_angle:
        angles.append(end_angle)

    points = np.array([
        [center[0] + radius * np.cos(a), center[1] + radius * np.sin(a)]
        for a in angles
    ])
    return points, np.array(angles)

def radial_error(points, center=(0,0), radius=None):
    """计算每个插补点到圆心的距离与理论半径的偏差"""
    dist = np.sqrt((points[:,0]-center[0])**2 + (points[:,1]-center[1])**2)
    if radius is None:
        radius = dist.mean()  # 若无理论半径，用均值近似
    return np.abs(dist - radius)

# 参数设置
feedrate = 100      # mm/s
period = 0.001      # s（1ms插补周期）
radii = np.linspace(1, 50, 20)  # 测试半径：1~50mm

max_errors = []
for r in radii:
    pts, _ = arc_interpolate(r, feedrate=feedrate, period=period)
    errs = radial_error(pts, radius=r)
    max_errors.append(errs.max())

# 绘制误差曲线
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(radii, max_errors, 'b-o', linewidth=2, markersize=4)
plt.xlabel('圆弧半径 (mm)')
plt.ylabel('最大径向误差 (mm)')
plt.title('圆弧插补最大径向误差 vs 半径')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('arc_error_analysis.png', dpi=150)
plt.show()

# 输出关键数据
print("半径列表:", radii)
print("最大误差列表:", max_errors)
print("最大误差出现于半径:", radii[np.argmax(max_errors)], "mm")
print("最小误差出现于半径:", radii[np.argmin(max_errors)], "mm")

运行与验证

依赖安装：需安装 numpy 和 matplotlib，执行 pip install numpy matplotlib。
运行方式：将代码保存为 arc_error.py，在终端执行 python arc_error.py。
预期输出：程序将显示误差曲线图并保存为 arc_error_analysis.png，同时打印各半径对应的最大误差值。
通过判定标准：观察曲线应呈现单调递减趋势——即半径越大，最大径向误差越小。这是因为在固定步长下，弦高误差近似为 e ≈ L²/(8R)（L为步长，R为半径），与半径成反比。若曲线符合此规律，且代码无报错，则验证通过。

误差机理说明

时间分割法的径向误差主要来源于用弦线段逼近圆弧。每周期步长 L = F·T 固定时，弦高误差 e = R - √(R² - (L/2)²) ≈ L²/(8R)。因此半径增大时误差减小，半径过小时误差显著增大。本案例通过扫描不同半径定量展示该关系，为高速加工中根据精度要求选择合理圆弧半径或调整进给速度提供依据。

关键参数与调整建议

进给速度 F：增大 F 会增大步长 L，导致误差平方级增大，高速加工时需权衡效率与精度。
插补周期 T：减小 T 可减小步长，提升精度，但受限于控制器运算能力。
适用场景：本代码适用于分析直线轴圆弧插补的几何误差，不包含伺服滞后、反向间隙等动态误差。