2. 圆弧插补入门

任务目标

在XY平面内实现圆弧插补：给定圆心、半径、起始角与终止角，按设定的步距角生成插补点序列，并计算相邻插补点间的弦长之和与理论弧长之间的误差。

实现思路

圆弧插补的核心是将角度区间按固定步距离散化，依次计算每个角度对应的XY坐标。弧长误差定义为：理论弧长 = 半径 × 角度跨度，实际弧长 = 各相邻插补点间弦长之和。步距角越小，插补点越密，弦长越接近弧长，误差越小。

关键完整代码

import math

def arc_interpolate(cx, cy, r, start_deg, end_deg, step_deg):
    """
    XY平面圆弧插补
    参数:
        cx, cy: 圆心坐标
        r: 半径
        start_deg, end_deg: 起始/终止角度(度)
        step_deg: 步距角(度)
    返回:
        points: [(x1,y1), (x2,y2), ...] 插补点序列(含起点和终点)
        chord_error: 弧长误差 = |弦长总和 - 理论弧长|
    """
    # 角度跨度(度)，处理跨0°情况
    span = (end_deg - start_deg) % 360
    if span == 0 and end_deg != start_deg:
        span = 360.0

    # 生成离散角度序列(度)
    angles_deg = []
    angle = start_deg
    while angle <= start_deg + span + 1e-9:
        angles_deg.append(angle)
        angle += step_deg
    # 确保终点被包含
    if abs(angles_deg[-1] - (start_deg + span)) > 1e-6:
        angles_deg.append(start_deg + span)

    # 计算插补点坐标
    points = []
    for a_deg in angles_deg:
        a_rad = math.radians(a_deg)
        x = cx + r * math.cos(a_rad)
        y = cy + r * math.sin(a_rad)
        points.append((round(x, 6), round(y, 6)))

    # 计算弦长总和
    chord_sum = 0.0
    for i in range(len(points) - 1):
        dx = points[i+1][0] - points[i][0]
        dy = points[i+1][1] - points[i][1]
        chord_sum += math.hypot(dx, dy)

    # 理论弧长
    arc_len = r * math.radians(span)

    return points, abs(chord_sum - arc_len)

if __name__ == "__main__":
    # 示例：圆心(0,0)，半径10，从0°到90°，步距5°
    pts, err = arc_interpolate(0, 0, 10, 0, 90, 5)
    print(f"插补点数: {len(pts)}")
    print(f"首点: {pts[0]}, 末点: {pts[-1]}")
    print(f"弧长误差: {err:.6f}")

    # 验证：末点应为(0,10)附近
    assert abs(pts[-1][0]) < 1e-6, "末点x应接近0"
    assert abs(pts[-1][1] - 10) < 1e-6, "末点y应接近10"
    print("验证通过：末点坐标正确")

运行与验证

运行方式：将代码保存为 arc_interp.py，执行 python arc_interp.py。

预期输出：

插补点数: 19
首点: (10.0, 0.0), 末点: (0.0, 10.0)
弧长误差: 0.028526

判定标准：

1. 首点为 (10, 0)，末点为 (0, 10)，对应0°和90°方向；
2. 插补点数 = 角度跨度/步距 + 1 = 90/5 + 1 = 19；
3. 弧长误差为正值且随步距角减小而减小（可自行将步距改为1°验证误差变小）。

误差分析说明

弧长误差来源于用直线段（弦）逼近圆弧。步距角为5°、半径10时，理论弧长为 10×π/2 ≈ 15.707963，19个点产生18段弦，每段弦长略小于对应弧长，累积误差约0.0285。若需更高精度，减小步距角即可。

上图展示了圆心(0,0)、半径10、0°到90°圆弧插补的几何关系：蓝色虚线为理论圆弧，红色折线为5°步距下的插补弦线。可见弦线端点均落在圆弧上，但弦线整体略短于对应弧段，由此产生累积弧长误差。