📚 课程目录第4章二阶欠阻尼系统的P控制整定

4. 二阶欠阻尼系统的P控制整定

任务目标

对二阶欠阻尼被控对象施加纯比例控制，使用临界比例度法（Ziegler-Nichols第一法）通过仿真确定临界增益 \(K_u\) 与临界振荡周期 \(T_u\)，并据此整定P控制器增益，验证系统稳定性。

被控对象与控制器结构

被控对象传递函数：

G(s) = ωₙ² / (s² + 2ζωₙs + ωₙ²)，取 ωₙ = 2 rad/s，ζ = 0.3（欠阻尼）

控制器：\(C(s) = K_p\)（纯比例）。闭环特征方程为 \(1 + K_p G(s) = 0\)。

临界比例度法原理

从较小 \(K_p\) 开始逐渐增大，当闭环系统输出出现等幅持续振荡时，此时的 \(K_p\) 即为临界增益 \(K_u\)，振荡周期为 \(T_u\)。对于二阶系统，\(K_u\) 可通过劳斯判据解析求得，仿真用于验证。

关键完整代码（Python + control库）

import numpy as np
import control as ct
import matplotlib.pyplot as plt

# 被控对象参数
wn = 2.0
zeta = 0.3
G = ct.tf([wn**2], [1, 2*zeta*wn, wn**2])

# 解析求临界增益（劳斯判据：s¹行系数 = 2ζωₙ - Kp·ωₙ²/ωₙ² = 0）
Ku_analytic = 2 * zeta * wn  # = 1.2
print(f"解析临界增益 Ku = {Ku_analytic:.4f}")

# 仿真扫描：从0.5倍Ku到1.5倍Ku，观察是否等幅振荡
Kp_values = [0.5*Ku_analytic, 0.9*Ku_analytic, 1.0*Ku_analytic, 1.2*Ku_analytic]
t = np.linspace(0, 20, 2000)

plt.figure(figsize=(10, 6))
for Kp in Kp_values:
    sys_cl = ct.feedback(Kp * G, 1)
    t_resp, y_resp = ct.step_response(sys_cl, t)
    plt.plot(t_resp, y_resp, label=f'Kp = {Kp:.3f}')

plt.axhline(1.0, color='gray', ls='--', lw=0.8)
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('输出 y(t)')
plt.title('不同Kp下的闭环阶跃响应')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim([0, 20])
plt.savefig('p_control_scan.png', dpi=100)
plt.show()

# 在Kp = Ku处提取振荡周期
sys_crit = ct.feedback(Ku_analytic * G, 1)
t_c, y_c = ct.step_response(sys_crit, t)
# 寻找峰值位置（排除初始瞬态）
from scipy.signal import find_peaks
peaks, _ = find_peaks(y_c, height=0.5)
if len(peaks) >= 3:
    # 取第2和第3个峰的时间差作为周期
    Tu = t_c[peaks[2]] - t_c[peaks[1]]
    print(f"临界振荡周期 Tu = {Tu:.4f} s")
    print(f"振荡频率 = {2*np.pi/Tu:.4f} rad/s")
else:
    print("峰值不足，无法计算周期")

# 整定后的P控制器（临界比例度法推荐：Kp = 0.5*Ku）
Kp_practical = 0.5 * Ku_analytic
sys_practical = ct.feedback(Kp_practical * G, 1)
t_p, y_p = ct.step_response(sys_practical, t)
print(f"整定后 Kp = {Kp_practical:.3f}")
print(f"整定后稳态值 = {y_p[-1]:.4f} (期望1.0)")
print(f"整定后超调量 = {(np.max(y_p)-1)*100:.1f}%")

运行方式

pip install control numpy matplotlib scipy
python p_control_tuning.py

验证方法与判定标准

临界增益验证：程序输出解析值 \(K_u = 1.2\)。仿真图中 \(K_p = 1.2\) 的响应曲线应为持续等幅振荡（不衰减也不发散），而 \(K_p = 0.9\) 时振荡衰减，\(K_p = 1.2\) 以上时发散。
振荡周期验证：程序输出的 \(T_u\) 应接近理论值 \(2\pi/\omega_d\)，其中 \(\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 2\sqrt{0.91} \approx 1.908\)，故 \(T_u \approx 3.29\) s。
整定结果验证：采用 \(K_p = 0.5K_u = 0.6\) 时，阶跃响应应稳定收敛，稳态值为1.0（无静差），超调量约在10%～20%范围内（由二阶系统阻尼比决定）。

稳定性分析要点

当 \(K_p < K_u\) 时闭环极点位于左半平面，系统稳定；\(K_p = K_u\) 时极点位于虚轴，产生等幅振荡；\(K_p > K_u\) 时极点进入右半平面，系统不稳定。临界比例度法正是利用这一边界特性确定整定参数。

图中根轨迹从开环极点（\(-0.6 \pm j1.908\)）出发，随 \(K_p\) 增大沿虚线方向移动。当轨迹穿越虚轴时对应 \(K_u = 1.2\)，此时闭环极点位于 \(\pm j\omega_d\)，系统处于临界稳定状态。