📚 课程目录第2章二阶欠阻尼系统PID参数整定

2. 二阶欠阻尼系统PID参数整定

任务目标

针对典型二阶欠阻尼被控对象，采用Ziegler-Nichols临界比例度法（临界振荡法）整定PID参数，并通过阶跃响应验证系统的稳定性与动态性能指标。

被控对象与整定原理

设被控对象传递函数为：

G(s) = 1 / (s² + 0.6s + 1)

该对象阻尼比ζ=0.3，为欠阻尼二阶系统。Ziegler-Nichols临界比例度法步骤如下：

令PID控制器中T_i=∞，T_d=0，仅保留比例增益K_p；
逐步增大K_p，直至系统输出出现等幅持续振荡，记录此时临界增益K_u与振荡周期T_u；
按经验公式计算PID参数：K_p=0.6K_u，T_i=0.5T_u，T_d=0.125T_u。

关键完整代码

以下Python代码完成临界增益搜索、PID参数计算及阶跃响应仿真验证：

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# 被控对象
num = [1.0]
den = [1.0, 0.6, 1.0]
sys = signal.TransferFunction(num, den)

# 1. 搜索临界增益Ku（使闭环系统等幅振荡）
def closed_loop_poles(Kp):
    # 单位反馈闭环特征多项式: den + Kp*num
    closed_den = np.polyadd(den, [Kp*x for x in num])
    return np.roots(closed_den)

# 通过根轨迹穿越虚轴确定Ku
Ku = None
Tu = None
for Kp in np.linspace(0.1, 5.0, 5000):
    poles = closed_loop_poles(Kp)
    for p in poles:
        if abs(p.real) < 1e-6 and abs(p.imag) > 1e-6:
            Ku = Kp
            wu = abs(p.imag)
            Tu = 2*np.pi/wu
            break
    if Ku is not None:
        break

print(f"临界增益 Ku = {Ku:.4f}")
print(f"临界振荡周期 Tu = {Tu:.4f} s")

# 2. Ziegler-Nichols整定公式
Kp_zn = 0.6 * Ku
Ti_zn = 0.5 * Tu
Td_zn = 0.125 * Tu
Ki_zn = Kp_zn / Ti_zn
Kd_zn = Kp_zn * Td_zn
print(f"ZN整定: Kp={Kp_zn:.4f}, Ki={Ki_zn:.4f}, Kd={Kd_zn:.4f}")

# 3. 构建PID控制器并仿真阶跃响应
# PID传递函数: C(s) = Kp + Ki/s + Kd*s
pid_num = [Kd_zn, Kp_zn, Ki_zn]
pid_den = [1.0, 0.0]  # 纯积分项1/s
ctrl = signal.TransferFunction(pid_num, pid_den)

# 开环传递函数
open_loop = signal.series(ctrl, sys)
# 闭环传递函数
closed_loop = signal.feedback(open_loop, 1)

# 阶跃响应
t = np.linspace(0, 30, 3000)
t, y = signal.step(closed_loop, T=t)

# 4. 动态性能指标计算
final_value = y[-1]
# 超调量
overshoot = (np.max(y) - final_value) / final_value * 100
# 峰值时间
peak_idx = np.argmax(y)
peak_time = t[peak_idx]
# 调节时间(±2%误差带)
error_band = 0.02 * final_value
settle_idx = np.where(np.abs(y - final_value) > error_band)[0]
settle_time = t[settle_idx[-1]] if len(settle_idx) > 0 else 0

print(f"稳态值 = {final_value:.4f}")
print(f"超调量 = {overshoot:.2f}%")
print(f"峰值时间 = {peak_time:.2f} s")
print(f"调节时间(±2%) = {settle_time:.2f} s")

# 5. 绘制阶跃响应曲线
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(t, y, 'b-', linewidth=2, label='ZN整定PID阶跃响应')
plt.axhline(y=final_value, color='gray', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axhline(y=1.02*final_value, color='r', linestyle=':', alpha=0.5, label='±2%误差带')
plt.axhline(y=0.98*final_value, color='r', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('输出 y(t)')
plt.title('二阶欠阻尼系统ZN法整定后阶跃响应')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlim([0, 30])
plt.ylim([0, 1.6])
plt.show()

运行方式与依赖

需要安装Python环境及NumPy、SciPy、Matplotlib库：

pip install numpy scipy matplotlib

将上述代码保存为zn_pid_tuning.py，在终端执行：

python zn_pid_tuning.py

验证方法与判定标准

运行代码后，控制台应输出临界增益K_u、临界周期T_u及整定后的PID参数。判定整定成功的标准为：

稳定性：阶跃响应曲线最终收敛至稳态值1.0，无发散振荡；
动态性能：超调量约在30%～50%范围内（ZN法典型特征），调节时间有限且曲线在±2%误差带内稳定；
参数合理性：K_u约为1.0（该对象理论临界增益为1.0），T_u约为6.28s（对应无阻尼自然频率ω_n=1 rad/s）。

若输出曲线出现持续等幅振荡或发散，说明整定参数计算有误，需检查临界增益搜索逻辑。