📚 课程目录第2章直流电机速度闭环PI控制

2. 直流电机速度闭环PI控制

任务目标

在比例控制（P控制）基础上，为直流电机速度闭环加入积分环节构成PI控制器，通过整定积分系数Ki消除稳态误差，并保证转速响应超调量小于10%。

被控对象与控制系统结构

被控对象为直流电机电枢控制模型，传递函数为：

G(s) = K / (J·s + B) = 2 / (0.02s + 0.1)

其中K=2为电机转矩常数，J=0.02 kg·m²为转动惯量，B=0.1 N·m·s为粘性阻尼系数。控制系统采用单位负反馈结构，PI控制器传递函数为：

C(s) = Kp + Ki/s

仿真在Python环境中完成，使用numpy和matplotlib库，无需额外硬件。

PI控制器设计与Ki整定

首先单独使用P控制（Ki=0）验证稳态误差的存在，然后逐步增大Ki观察系统响应变化。整定目标：稳态误差为0（无静差），超调量<10%。

完整实现代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 电机参数
J = 0.02   # 转动惯量 kg·m^2
B = 0.1    # 粘性阻尼 N·m·s
K = 2.0    # 转矩常数

# 目标转速 (rad/s)
target_speed = 100.0

# 仿真参数
dt = 0.001          # 采样周期 (s)
sim_time = 3.0      # 仿真时长 (s)
steps = int(sim_time / dt)
t = np.arange(0, sim_time, dt)

def simulate_pi(Kp, Ki):
    """PI控制仿真，返回转速数组"""
    speed = 0.0
    integral = 0.0
    speeds = []
    
    for _ in range(steps):
        error = target_speed - speed
        integral += error * dt
        # PI控制律
        u = Kp * error + Ki * integral
        # 电机动态方程: J·(ds/dt) + B·s = K·u
        ds = (K * u - B * speed) / J
        speed += ds * dt
        speeds.append(speed)
    
    return np.array(speeds)

# ========== 1. 纯P控制验证稳态误差 ==========
Kp_pure = 5.0
speed_pure = simulate_pi(Kp_pure, 0.0)
steady_error_pure = target_speed - speed_pure[-1]
print(f"纯P控制 (Kp={Kp_pure}): 稳态转速={speed_pure[-1]:.2f} rad/s, "
      f"稳态误差={steady_error_pure:.2f} rad/s")

# ========== 2. PI控制整定 ==========
Kp = 5.0   # 保持与纯P相同的比例增益
Ki = 15.0  # 积分增益（整定值）

speed_pi = simulate_pi(Kp, Ki)

# 计算超调量
overshoot = 0.0
peak_speed = np.max(speed_pi)
if peak_speed > target_speed:
    overshoot = (peak_speed - target_speed) / target_speed * 100

# 稳态误差（取最后1%时间段的平均值）
steady_speed = np.mean(speed_pi[-int(steps*0.01):])
steady_error = target_speed - steady_speed

print(f"PI控制 (Kp={Kp}, Ki={Ki}): 峰值转速={peak_speed:.2f} rad/s, "
      f"超调量={overshoot:.2f}%, 稳态误差={steady_error:.4f} rad/s")

# ========== 3. 绘制对比曲线 ==========
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(t, speed_pure, 'r--', label=f'纯P控制 (Kp={Kp_pure})', linewidth=1.5)
plt.plot(t, speed_pi, 'b-', label=f'PI控制 (Kp={Kp}, Ki={Ki})', linewidth=1.5)
plt.axhline(y=target_speed, color='gray', linestyle=':', label='目标转速')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('转速 (rad/s)')
plt.title('直流电机速度闭环：P控制 vs PI控制')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlim(0, 2.0)
plt.ylim(0, 120)
plt.tight_layout()
plt.savefig('pi_control_result.png', dpi=100)
plt.show()

运行方式

pip install numpy matplotlib
python pi_control.py

验证方法与判定标准

运行代码后观察终端输出和图形，按以下标准判定是否通过：

稳态误差消除：PI控制稳态转速与目标转速100 rad/s的误差值小于0.01 rad/s（即稳态误差≈0），而纯P控制存在明显稳态误差（约16.7 rad/s）。
超调量约束：PI控制响应曲线的峰值不超过110 rad/s，即超调量<10%。若超调量超过10%，减小Ki值（如Ki=10）重新仿真；若响应过慢，增大Ki值。
图形验证：图中蓝色PI曲线最终收敛至目标虚线，红色纯P曲线稳定在目标值下方，直观对比积分项的作用。

Ki整定说明

本例中Ki=15为满足指标的整定值。Ki过小（如Ki=5）时稳态误差消除缓慢；Ki过大（如Ki=50）时超调量超过10%甚至系统振荡。可通过修改代码中的Ki值观察响应变化，理解积分增益对系统性能的影响。