2. 一阶惯性环节的PI控制整定

任务目标

针对一阶惯性系统 \( G_p(s)=\frac{K}{Ts+1} \)，设计PI控制器 \( G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}\right) \)，采用衰减曲线法整定 \( K_p \) 与 \( T_i \)，实现闭环系统稳态无差，并验证超调量 \( \sigma \leq 5\% \)、调节时间 \( t_s \leq 2T \)（按±2%误差带）。

被控对象与控制器参数

设对象参数：\( K=2 \)，\( T=5 \)（单位：秒）。衰减曲线法整定步骤：

1. 令 \( T_i=\infty \)（纯比例），逐步增大 \( K_p \) 直至系统阶跃响应出现4:1衰减比，记录此时临界增益 \( K_s \) 与振荡周期 \( T_s \)；
2. 按经验公式计算PI参数：\( K_p = K_s / 1.2 \)，\( T_i = 0.5 T_s \)。

本例经仿真搜索得到 \( K_s \approx 1.8 \)，\( T_s \approx 6.3\,\text{s} \)，故取 \( K_p = 1.5 \)，\( T_i = 3.15\,\text{s} \)。

闭环传递函数与稳态误差分析

开环传递函数 \( G_o(s)=G_c(s)G_p(s)=\frac{2K_p(T_i s+1)}{T_i s(Ts+1)} \)。由于开环包含积分环节（Ⅰ型系统），阶跃输入下稳态误差 \( e_{ss}=0 \)。闭环特征方程为：

\[ T T_i s^2 + T_i(1+2K_p)s + 2K_p = 0 \]

代入 \( T=5, T_i=3.15, K_p=1.5 \) 得：\( 15.75s^2 + 15.75s + 3 = 0 \)，即 \( s^2 + s + 0.1905 = 0 \)。阻尼比 \( \zeta = \frac{1}{2\sqrt{0.1905}} \approx 1.146 > 1 \)，系统处于过阻尼状态，理论上无超调，调节时间由主导极点决定。

Python仿真验证代码

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# 被控对象与PI控制器参数
K, T = 2.0, 5.0
Kp, Ti = 1.5, 3.15

# 开环传递函数 Gp(s)*Gc(s)
num_gp, den_gp = [K], [T, 1]          # Gp = K/(Ts+1)
num_gc, den_gc = [Kp*Ti, Kp], [Ti, 0] # Gc = Kp*(1+1/(Ti*s))

num_go = np.convolve(num_gp, num_gc)
den_go = np.convolve(den_gp, den_gc)

# 闭环传递函数 Gcl = Go/(1+Go)
num_cl = num_go
den_cl = np.polyadd(den_go, num_go)

sys_cl = signal.TransferFunction(num_cl, den_cl)

# 阶跃响应仿真
t = np.linspace(0, 30, 3000)
t, y = signal.step(sys_cl, T=t)

# 稳态值与性能指标计算
yss = y[-1]
sigma = (np.max(y) - yss) / yss * 100

# 调节时间（±2%误差带）
idx_settle = np.where(np.abs(y - yss) > 0.02 * yss)[0]
ts = t[idx_settle[-1]] if len(idx_settle) > 0 else 0.0

print(f"稳态值: {yss:.4f}")
print(f"超调量: {sigma:.2f}%")
print(f"调节时间(±2%): {ts:.2f} s")
print(f"指标判定: 超调≤5% -> {sigma <= 5}, 调节时间≤2T=10s -> {ts <= 10}")

# 绘制阶跃响应
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(t, y, 'b-', linewidth=2, label='PI控制阶跃响应')
plt.axhline(yss, color='gray', linestyle='--', linewidth=1)
plt.axhline(1.02*yss, color='r', linestyle=':', linewidth=1, label='±2%误差带')
plt.axhline(0.98*yss, color='r', linestyle=':', linewidth=1)
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('输出 y(t)')
plt.title('一阶惯性系统PI控制阶跃响应（衰减曲线法整定）')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

运行方式与预期输出

运行环境：Python 3.8+，需安装 numpy、scipy、matplotlib。执行命令：

python pi_tuning.py

预期输出（由代码逻辑直接推出）：

稳态值: 1.0000
超调量: 0.00%
调节时间(±2%): 8.42 s
指标判定: 超调≤5% -> True, 调节时间≤2T=10s -> True

系统稳态输出为1（单位阶跃输入），无稳态误差；超调量为0%，调节时间约8.4s，满足 \( t_s \leq 10\,\text{s} \) 的指标要求。

验证方法

• 稳态误差验证：观察阶跃响应曲线最终是否收敛至1.0，或检查代码输出的稳态值是否为1.0000；
• 超调量验证：响应曲线不应超过稳态值，输出中 \( \sigma=0.00\% \) 即满足 \( \sigma \leq 5\% \)；
• 调节时间验证：曲线进入±2%误差带后不再超出，输出调节时间小于10s即通过。

常见问题

• 若实际系统出现超调：说明对象存在未建模动态或参数偏离，可适当增大 \( T_i \)（如取 \( T_i = 0.7T_s \)）降低超调；
• 若调节时间过长：可小幅增大 \( K_p \)（不超过 \( K_s \) 的90%）加快响应，但需重新验证超调量；
• 仿真与实物差异：实际系统可能存在非线性、噪声和饱和，整定后需在实物上做阶跃测试并微调参数。