3. 典型I型系统整定法在电流环中的应用

任务目标

本案例针对FOC电流环，采用典型I型系统整定法，根据给定的期望超调量σ%和调节时间t_s，计算电流环PI调节器的比例系数K_p和积分系数K_i。整定对象为表贴式永磁同步电机（SPMSM）的d/q轴电流环，电气模型可等效为一阶惯性环节。

整定原理与公式

典型I型系统开环传递函数为：

G(s) = K / [s(T_Σs + 1)]

其中K为开环增益，T_Σ为小时间常数之和。电流环中，T_Σ = T_s（开关周期）+ T_d（数字控制延时，通常取1.5T_s）。按“二阶最佳”整定关系，取阻尼比ξ = 0.707时，超调量σ% ≈ 4.3%，此时：

K·T_Σ = 0.5

若期望超调量非4.3%，需根据σ%查表或计算对应的K·T_Σ值。本案例采用工程近似法：给定σ%后，由时域关系式反推ξ，再计算K·T_Σ。调节时间t_s（±2%误差带）与ξ、ω_n的关系为：

t_s ≈ 4 / (ξ·ω_n)

结合典型I型系统闭环传递函数，可推导出PI参数计算公式。电流环被控对象为：

G_p(s) = 1 / (Ls + R)

其中L为定子电感，R为定子电阻。PI调节器传递函数为K_p + K_i/s，取零点对消对象极点，即K_i/K_p = R/L，则开环增益K = K_p/L。

参数计算实现

以下Python代码实现完整计算流程：输入电机电气参数、开关频率、期望超调量和调节时间，输出K_p和K_i。

import math

def calc_pi_params(L, R, f_sw, sigma_percent, ts_target):
    """
    典型I型系统电流环PI参数整定
    参数:
        L: 定子电感 (H)
        R: 定子电阻 (Ohm)
        f_sw: 开关频率 (Hz)
        sigma_percent: 期望超调量 (%)
        ts_target: 期望调节时间 (s)
    返回:
        (Kp, Ki)
    """
    # 1. 小时间常数: 开关周期 + 数字控制延时(1.5倍开关周期)
    Ts = 1.0 / f_sw
    T_sigma = Ts + 1.5 * Ts  # = 2.5 * Ts

    # 2. 由超调量反推阻尼比 (二阶系统近似)
    # 超调量公式: sigma = exp(-pi*xi / sqrt(1-xi^2))
    # 数值求解xi
    xi = 0.707  # 初始猜测
    for _ in range(100):
        sigma_calc = math.exp(-math.pi * xi / math.sqrt(1 - xi * xi))
        if abs(sigma_calc - sigma_percent / 100.0) < 1e-6:
            break
        # 牛顿迭代
        f = sigma_calc - sigma_percent / 100.0
        df = -math.pi * math.exp(-math.pi * xi / math.sqrt(1 - xi * xi)) / ((1 - xi * xi) ** 1.5)
        xi -= f / df
    xi = max(0.1, min(0.9, xi))  # 限制范围

    # 3. 由调节时间计算自然频率
    # ts ≈ 4 / (xi * wn)  (2%误差带)
    wn = 4.0 / (xi * ts_target)

    # 4. 典型I型系统: 闭环自然频率与开环增益关系
    # 闭环特征方程: s^2 + (1/T_sigma)*s + K/T_sigma = 0
    # 标准二阶: s^2 + 2*xi*wn*s + wn^2 = 0
    # 对比得: 2*xi*wn = 1/T_sigma  → 验证约束
    # 实际整定: 由期望wn计算所需开环增益K
    K_open = wn * wn * T_sigma  # 由wn^2 = K/T_sigma

    # 5. 由开环增益反算Kp (K_open = Kp / L)
    Kp = K_open * L

    # 6. 零点对消: Ki/Kp = R/L
    Ki = Kp * R / L

    return Kp, Ki

# 示例: 某SPMSM参数
L = 0.0005   # 500 uH
R = 0.05     # 50 mOhm
f_sw = 20000 # 20 kHz
sigma_target = 4.3   # 期望超调量 4.3%
ts_target = 0.001    # 期望调节时间 1 ms

Kp, Ki = calc_pi_params(L, R, f_sw, sigma_target, ts_target)
print(f"Kp = {Kp:.4f}")
print(f"Ki = {Ki:.4f}")

# 验证: 计算实际超调量和调节时间
Ts = 1.0 / f_sw
T_sigma = 2.5 * Ts
K_open = Kp / L
wn_actual = math.sqrt(K_open / T_sigma)
xi_actual = 1.0 / (2 * T_sigma * wn_actual)
sigma_actual = math.exp(-math.pi * xi_actual / math.sqrt(1 - xi_actual * xi_actual)) * 100
ts_actual = 4.0 / (xi_actual * wn_actual)
print(f"验证: 实际超调量={sigma_actual:.2f}%, 实际调节时间={ts_actual*1000:.3f} ms")

运行与验证

运行方式：将代码保存为pi_tuning.py，在Python 3环境中执行python pi_tuning.py。

预期输出：代码会打印计算得到的K_p和K_i值，并输出验证结果。对于示例参数，由于σ%=4.3%对应ξ=0.707，且t_s=1ms，计算得到的参数应使实际超调量接近4.3%、调节时间接近1ms。

验证方法：观察输出的验证行，实际超调量应接近期望值（误差<0.1%），实际调节时间应接近目标值（误差<5%）。若偏差较大，检查输入参数是否合理（如t_s过小会导致K_p过大）。

常见问题

• 调节时间过短：当期望t_s小于2.5T_Σ时，计算出的K_p会非常大，可能导致实际系统饱和。建议t_s ≥ 5T_Σ。
• 超调量小于4.3%：此时ξ>0.707，系统响应变慢，需要增大t_s目标值，否则无解。
• 离散化影响：本计算基于连续域，实际离散化后（如双线性变换）参数需微调，建议在仿真中验证后做±10%范围内调整。