4. 突变结的电场分布：单边突变结（P⁺N 或 N⁺P）的电场线性分布模型与最大电场 E_m

在上一节中，我们推导了突变结耗尽层内的一般电场分布。对于实际应用中最常见的单边突变结（即一侧掺杂浓度远高于另一侧，如 P⁺N 或 N⁺P 结），电场分布可以进一步简化为线性分布模型。该模型是理解雪崩击穿电压与掺杂浓度关系的基础。

4.1 单边突变结的近似条件

考虑一个 P⁺N 结，其中 P⁺ 区掺杂浓度 N_A 远大于 N 区掺杂浓度 N_D（例如 N_A >> N_D）。根据电荷中性条件：

NA · xp = ND · xn

由于 N_A >> N_D，必然有 x_p << x_n。这意味着耗尽层几乎全部延伸至轻掺杂的 N 区一侧，而重掺杂的 P⁺ 区耗尽层宽度可以忽略不计（x_p ≈ 0）。因此，总耗尽层宽度 W ≈ x_n。

4.2 电场线性分布模型推导

对于 P⁺N 结，取冶金结界面为 x=0，耗尽层从 x=0 延伸到 x=W（N 区一侧）。在耗尽层内（0 ≤ x ≤ W），电离施主电荷密度为 ρ = qN_D（常数）。代入泊松方程：

dE/dx = ρ / εs = qND / εs

对 x 积分，并利用边界条件 E(W) = 0（耗尽层边界电场为零），得到：

E(x) = - (qND / εs) · (W - x) ,  0 ≤ x ≤ W

电场在 x=0 处（冶金结界面）取得最大值 E_m：

Em = E(0) = - (qND / εs) · W

电场方向从 N 区指向 P 区（负号表示方向），其幅值随 x 线性减小至零。这就是单边突变结的电场线性分布模型。

4.3 最大电场 E_m 的表达式

将耗尽层宽度 W 的表达式代入，可以得到 E_m 与掺杂浓度和电压的关系。对于单边突变结，耗尽层宽度为：

W = √[ (2εs (Vbi + VR)) / (qNB) ]

其中 N_B 为轻掺杂一侧的浓度（对于 P⁺N 结，N_B = N_D；对于 N⁺P 结，N_B = N_A）。代入 E_m 表达式：

Em = (qNB / εs) · W = (qNB / εs) · √[ (2εs (Vbi + VR)) / (qNB) ]

化简得到最大电场的标准表达式：

Em = √[ (2qNB (Vbi + VR)) / εs ]

当外加反向偏压 V_R 远大于内建电势 V_bi 时（通常 V_R >> V_bi），可近似为：

Em ≈ √[ (2qNB VR) / εs ]

4.4 电场分布对比：突变结 vs 单边突变结

4.5 电场线性分布模型 SVG 示意图

下图展示了 P⁺N 单边突变结在反向偏压下的电场线性分布模型。注意耗尽层几乎完全位于轻掺杂 N 区，电场从冶金结界面处的最大值 E_m 线性下降至耗尽层边界处的零值。

εs = εr · ε0 = 11.8 × 8.85×10⁻¹⁴ = 1.044×10⁻¹² F/cm

耗尽层宽度：
W = √[ (2 × 1.044×10⁻¹² × 100) / (1.6×10⁻¹⁹ × 1×10¹⁵) ]
  = √[ 2.088×10⁻¹⁰ / 1.6×10⁻⁴ ]
  = √[ 1.305×10⁻⁶ ]
  = 1.142×10⁻³ cm = 11.42 μm

最大电场：
Em = √[ (2 × 1.6×10⁻¹⁹ × 1×10¹⁵ × 100) / (1.044×10⁻¹²) ]
     = √[ 3.2×10⁻² / 1.044×10⁻¹² ]
     = √[ 3.065×10¹⁰ ]
     = 1.75×10⁵ V/cm