3. C-V特性方程：耗尽层电容与反向偏压的关系

耗尽层电容（又称结电容）是BJT中影响开关速度的关键寄生参数。其物理根源在于：当PN结施加反向偏压时，耗尽层宽度发生变化，导致空间电荷区内的固定电荷量随电压改变，从而表现出电容效应。本节将建立耗尽层电容与反向偏压之间的定量关系，重点推导突变结与线性缓变结两种理想模型的C-V特性方程。

3.1 耗尽层电容的物理定义

耗尽层电容定义为：单位面积耗尽层内，电荷量对电压的变化率。其微分形式为：

C_j = dQ_j / dV_R

其中：

• C_j —— 单位面积耗尽层电容（F/cm²）
• Q_j —— 耗尽层单位面积电荷量（C/cm²）
• V_R —— 反向偏压（V）

从平行板电容模型类比，耗尽层电容也可表示为：

C_j = ε_s / W_d

其中 ε_s 为半导体介电常数，W_d 为耗尽层宽度。该表达式揭示了电容与耗尽层宽度成反比的核心关系——反向偏压越大，耗尽层越宽，电容越小。

3.2 突变结模型（C ∝ V^-1/2）

突变结（Abrupt Junction）是最常用的简化模型，适用于高掺杂发射区与低掺杂基区形成的PN结，或浅扩散结。其掺杂分布特征为：在冶金结界面处掺杂浓度发生阶跃变化。

3.2.1 模型假设与耗尽层宽度

突变结的掺杂分布可表示为：

N(x) = N_D  (x > 0, N型侧)
N(x) = N_A  (x < 0, P型侧)

其中 N_D 和 N_A 为常数。通过求解泊松方程，得到耗尽层宽度表达式：

W_d = sqrt( (2 ε_s (V_bi + V_R)) / (q) * (1/N_A + 1/N_D) )

对于单边突变结（如P⁺N结，N_A ≫ N_D），上式简化为：

W_d ≈ sqrt( (2 ε_s (V_bi + V_R)) / (q N_D) )

3.2.2 C-V特性方程

将耗尽层宽度代入电容表达式，得到突变结的C-V特性方程：

C_j = ε_s / W_d = sqrt( (q ε_s N_D N_A) / (2 (N_D + N_A) (V_bi + V_R)) )

对于单边突变结，进一步简化为：

C_j = sqrt( (q ε_s N_D) / (2 (V_bi + V_R)) )

由此可得突变结电容与反向偏压的经典关系：

C_j ∝ (V_bi + V_R)^(-1/2)

当 V_R ≫ V_bi 时，近似有 C_j ∝ V_R^-1/2。

3.3 线性缓变结模型（C ∝ V^-1/3）

线性缓变结（Linearly Graded Junction）适用于扩散工艺形成的深结，或掺杂浓度在结界面附近呈线性变化的PN结。该模型更接近实际双极型集成电路中的基极-集电极结。

3.3.1 模型假设与耗尽层宽度

线性缓变结的掺杂分布为：

N(x) = a · x

其中 a 为掺杂浓度梯度（cm⁻⁴），x=0 处为冶金结界面。通过求解泊松方程，得到耗尽层宽度：

W_d = [ (12 ε_s (V_bi + V_R)) / (q a) ]^(1/3)

3.3.2 C-V特性方程

代入电容表达式，得到线性缓变结的C-V特性方程：

C_j = ε_s / W_d = [ (q ε_s² a) / (12 (V_bi + V_R)) ]^(1/3)

由此可得线性缓变结电容与反向偏压的关系：

C_j ∝ (V_bi + V_R)^(-1/3)

当 V_R ≫ V_bi 时，近似有 C_j ∝ V_R^-1/3。

3.4 两种模型的对比分析

3.5 C-V特性曲线与物理图像

下图展示了突变结与线性缓变结的C-V特性曲线对比，以及对应的耗尽层结构变化：

C_j = C_j0 / (1 + V_R / V_bi)^m