3. 角谱理论：平面波角谱的概念、角谱的传播、角谱理论与衍射积分的等价性、空间频率与传播方向

好，我们进入第三章。这一章要聊的角谱理论，是标量衍射理论里非常核心的一块。我个人觉得，它比前面讲的基尔霍夫公式和瑞利-索末菲公式更“物理”一些——因为它把光场分解成了不同方向传播的平面波。你想想看，这就像用傅里叶变换把时域信号拆成不同频率的正弦波一样，只不过这里拆的是空间上的“方向”。

3.1 平面波角谱的概念

什么叫“角谱”？说白了，就是光场中各个方向平面波的幅度分布。

假设我们在 \( z = 0 \) 平面上有一个光场分布 \( U(x, y, 0) \)。这个光场可以看作无数个不同传播方向的平面波的叠加。每个平面波有一个复振幅，这个复振幅随空间频率 \( (f_x, f_y) \) 变化。我们把 \( A(f_x, f_y; 0) \) 称为光场的角谱。

数学上，它就是二维傅里叶变换：

A(f_x, f_y; 0) = ∬ U(x, y, 0) exp[-i2π(f_x x + f_y y)] dx dy

反过来，光场也可以由角谱重构：

U(x, y, 0) = ∬ A(f_x, f_y; 0) exp[i2π(f_x x + f_y y)] df_x df_y

这里的 \( f_x, f_y \) 就是空间频率。它们和传播方向余弦 \( (\alpha, \beta) \) 的关系是：

f_x = α / λ,   f_y = β / λ

其中 \( \alpha = \cos\theta_x \), \( \beta = \cos\theta_y \)。

3.2 角谱的传播

光场从 \( z = 0 \) 传播到 \( z = z \) 时，角谱会怎么变？

答案是：每个平面波分量独立传播，只增加一个相位因子。这个相位因子取决于传播距离和空间频率：

A(f_x, f_y; z) = A(f_x, f_y; 0) · exp[i 2π z √(1/λ² - f_x² - f_y²)]

嗯，这里要注意一个细节。根号里面的东西如果为正，那就是传播的平面波；如果为负，那就变成衰减的倏逝波。在DOE设计中，我们通常只关心传播波，因为倏逝波在几个波长的距离内就衰减没了。

3.3 角谱理论与衍射积分的等价性

你可能会问：角谱理论和前面讲的瑞利-索末菲衍射积分，到底是不是一回事？

答案是：完全等价。只是看待问题的角度不同。

瑞利-索末菲公式是在空间域做卷积，角谱理论是在频率域做乘法。两者通过傅里叶变换联系起来。我习惯用一张表来对比：

对比项	衍射积分（空间域）	角谱理论（频率域）
核心操作	卷积	乘法
传播核	球面波因子	相位因子 exp(i k z √(1 - λ²f²))
计算复杂度	O(N²) 直接积分	O(N log N) 用FFT
物理图像	惠更斯-菲涅尔子波叠加	平面波分解与合成
适用场景	近场、小角度	远场、大角度、任意距离

从计算角度看，角谱法用FFT实现，速度比直接积分快得多。我在做DOE优化时，每次迭代都要算几十次衍射传播，用角谱法能省下大量时间。

3.4 空间频率与传播方向

最后，我们来深入理解一下空间频率和传播方向的关系。

空间频率 \( (f_x, f_y) \) 其实就对应着平面波的方向余弦。具体来说：

• 低频分量（\( f_x, f_y \) 小）：对应近轴传播，方向接近光轴
• 高频分量（\( f_x, f_y \) 大）：对应大角度传播，方向偏离光轴
• 超高频分量（\( f_x² + f_y² > 1/λ² \)）：对应倏逝波，不传播

在DOE设计中，我们通过设计微结构来调制入射光的空间频率分布。比如，一个闪耀光栅就是把能量集中到某个特定的空间频率上，对应一个特定的偏折角度。

下面这张图展示了角谱理论的核心逻辑：

从这张图可以看出，角谱法的计算流程非常清晰：

1. 对输入光场做FFT，得到角谱
2. 在频率域乘上传播相位因子
3. 做IFFT，得到输出光场

整个过程就是一次傅里叶变换、一次乘法、一次逆变换。简洁、高效、物理意义明确。