第2章 数学基础回顾：向量与坐标变换、微分几何基础、多项式拟合基础

做自由曲面设计，说白了就是跟数学打交道。我刚开始接触这个领域时，总觉得数学是门槛，后来才发现——数学其实是工具，用顺手了，曲面设计就没那么玄乎了。

这一章，我们快速过一遍后面会反复用到的数学基础。别担心，我不会堆公式，而是把重点放在“怎么用”上。

2.1 向量与坐标变换

自由曲面的描述，离不开向量。每个曲面上的点，都对应一个位置向量。而坐标变换，则是把曲面从一个位置搬到另一个位置，或者从一个坐标系转到另一个坐标系。

2.1.1 向量基础

一个三维向量 v = (x, y, z)，表示从原点指向点 (x, y, z) 的方向和距离。常用的操作有：

• 点积：a · b = |a||b|cosθ，用于计算夹角或投影长度。
• 叉积：a × b，结果是一个垂直于 a 和 b 的向量，用于求法向量。
• 模长：|v| = √(x² + y² + z²)，表示向量的长度。

2.1.2 坐标变换矩阵

坐标变换的核心是矩阵乘法。一个点 p 经过旋转和平移后，变成新点 p'：

p' = R * p + t

其中 R 是 3×3 旋转矩阵，t 是 3×1 平移向量。为了统一表示，我们常用齐次坐标：

[ p' ]   = [ R  t ] * [ p ]
[ 1  ]     [ 0  1 ]   [ 1 ]

这样做的好处是，多次变换可以连乘成一个矩阵，计算效率高很多。

变换类型	矩阵形式	说明
平移	[[I, t], [0, 1]]	沿 x/y/z 方向移动
绕 x 轴旋转	[[1,0,0], [0,cosθ,-sinθ], [0,sinθ,cosθ]]	右手定则
绕 y 轴旋转	[[cosθ,0,sinθ], [0,1,0], [-sinθ,0,cosθ]]	注意符号方向
绕 z 轴旋转	[[cosθ,-sinθ,0], [sinθ,cosθ,0], [0,0,1]]	最常用
缩放	[[sx,0,0], [0,sy,0], [0,0,sz]]	各向同性或异性

2.2 微分几何基础

自由曲面的“形状”，本质上是由它的法向量和曲率决定的。这两个量，直接关系到光线在曲面上的反射和折射行为。

2.2.1 法向量

曲面上某点的法向量，就是垂直于该点切平面的向量。对于显式曲面 z = f(x, y)，法向量可以这样算：

n = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)  （未归一化）

归一化后，n 就是单位法向量。在光学设计中，法向量的方向决定了光线的偏折方向，所以必须算准。

2.2.2 曲率

曲率描述曲面在某点“弯曲”的程度。对于自由曲面，我们关心两个主曲率 κ₁ 和 κ₂，以及平均曲率 H 和高斯曲率 K：

• 平均曲率：H = (κ₁ + κ₂) / 2
• 高斯曲率：K = κ₁ × κ₂

这两个量能告诉我们曲面的局部形状：

K > 0	K = 0	K < 0
椭球点（碗状）	抛物点（柱面或平面）	双曲点（马鞍形）

在自由曲面设计中，我经常用曲率分布来判断曲面是否“光滑”。如果曲率突变，说明曲面有褶皱，加工出来会有问题。

2.3 多项式拟合基础

自由曲面通常用多项式来表示。为什么？因为多项式简单、好算、容易求导。最常见的两种是：

2.3.1 泽尼克多项式

泽尼克多项式在圆形孔径上正交，非常适合描述光学像差。它的形式是：

Z(ρ, θ) = Σ A_nm * R_n(ρ) * cos(mθ) + B_nm * R_n(ρ) * sin(mθ)

其中 ρ 是归一化半径，θ 是角度。前几项对应常见的像差：

项	名称	物理意义
Z₁	平移	整体偏移
Z₂, Z₃	倾斜	像面倾斜
Z₄	离焦	焦点偏移
Z₅, Z₆	像散	非对称模糊
Z₇, Z₈	彗差	拖尾状像差
Z₉	球差	对称模糊

2.3.2 多项式拟合的注意事项

拟合时，我们通常用最小二乘法。但有几个坑要注意：

• 数据点分布：采样点要均匀覆盖整个曲面，否则拟合结果会偏向采样密集的区域。
• 多项式阶数：阶数太低，拟合精度不够；阶数太高，容易过拟合。我一般用交叉验证来选阶数。
• 数值稳定性：高阶多项式在边界处容易震荡（龙格现象）。如果发现拟合曲面在边缘处“翘起来”，说明阶数太高了。

2.4 本章知识体系

下面这张图，把本章的核心内容串起来了。你可以把它当作一个快速索引，后面用到哪个知识点，回来翻一翻就行。

嗯，这一章的内容就到这里。数学基础是枯燥了点，但后面讲自由曲面建模时，你会发现这些知识全都能用上。尤其是法向量和曲率，几乎每个曲面分析都离不开它们。