📚 课程目录第2章坐标系基础

坐标系基础：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系及其转换关系

做光学标注这些年，我见过太多人一上来就调算法、标参数，结果标出来的数据全是错的。为什么？坐标系没搞明白。说白了，你连点在哪儿都说不清楚，怎么指望机器能找准？

这一章，咱们就把四个坐标系彻底捋清楚。世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系、像素坐标系——它们之间怎么转，每一步的坑在哪儿，我都会用自己的实战经验给你讲透。

1. 四个坐标系，各管一摊

先记住一句话：世界坐标系是“真实世界”，相机坐标系是“相机眼里”，图像坐标系是“底片上”，像素坐标系是“电脑里”。咱们一个一个看。

坐标系	英文	维度	单位	一句话理解
世界坐标系	World Coordinate System	3D (Xw, Yw, Zw)	mm / m	物体在真实空间里的位置
相机坐标系	Camera Coordinate System	3D (Xc, Yc, Zc)	mm / m	以相机光心为原点看到的场景
图像坐标系	Image Coordinate System	2D (x, y)	mm	物理成像平面上的位置
像素坐标系	Pixel Coordinate System	2D (u, v)	pixel	图像数组里的行列号

嗯，这里要注意：世界坐标系和相机坐标系都是三维的，但图像和像素坐标系是二维的。从三维到二维，就是“投影”的过程，也是误差最容易放大的地方。

2. 坐标系之间的转换关系

我习惯把整个转换链条画成一张图，这样脑子里的逻辑就清楚了。下面这张 SVG 就是我自己一直在用的“坐标系转换路线图”。

3. 每一步转换，都有坑

3.1 世界坐标系 → 相机坐标系（刚体变换）

这一步说白了就是“把世界搬到相机跟前”。用旋转矩阵 R 和平移向量 t 就能搞定。公式长这样：

| Xc |   | R11 R12 R13 | | Xw |   | tx |
| Yc | = | R21 R22 R23 | | Yw | + | ty |
| Zc |   | R31 R32 R33 | | Zw |   | tz |

我曾经在一个项目里，标定板放歪了 2 度，结果重建出来的工件尺寸差了 0.5mm。你想想看，2 度而已，但到了 500mm 远的物体上，误差就放大了。所以，外参标定一定要用高精度靶标，别图省事。

避坑指南： 旋转矩阵必须是正交矩阵。如果你自己算出来的 R 不满足 R^T * R = I，那一定是算错了。我曾经用数值优化硬算，结果矩阵不正交，后面全崩了。

3.2 相机坐标系 → 图像坐标系（透视投影）

这一步是“把三维压成二维”。用的是小孔成像模型：

x = f * Xc / Zc
y = f * Yc / Zc

注意，这里 Zc 在分母上。Zc 越小，物体在图像上看起来越大。我见过有人把 Zc 和 Zw 搞混，结果投影出来的点全飞了。记住：Zc 是相机坐标系下的深度，不是世界坐标系的。

实战技巧： 如果你的镜头畸变比较大（比如广角镜头），这一步之后一定要加畸变校正。我一般用 Brown 模型，先校正再往下走。

3.3 图像坐标系 → 像素坐标系（离散化）

这一步是把物理尺寸（毫米）变成像素坐标（行列号）。公式很简单：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

其中 dx、dy 是每个像素的物理尺寸，u0、v0 是图像中心（主点）的像素坐标。嗯，这里有个坑：dx 和 dy 不一定相等。如果传感器像素不是正方形，你直接取相等就会导致图像变形。

我记得有一次帮客户标定一个工业相机，厂家给的 datasheet 上 dx=dy，但实际标出来发现差了 0.3%。后来一查，是传感器封装时微米级的偏差。从那以后，我再也不敢完全相信 datasheet，每次都自己标定。

4. 完整转换公式（齐次坐标形式）

把上面三步串起来，用齐次坐标写，就是相机标定里最核心的公式：

| u |   | fx  0  u0  0 | | R11 R12 R13 tx | | Xw |
| v | = | 0  fy v0  0 | | R21 R22 R23 ty | | Yw |
| 1 |   | 0   0   1  0 | | R31 R32 R33 tz | | Zw |
                           | 0   0   0   1  | | 1  |

左边是像素坐标，右边是世界坐标。中间那个 3x4 矩阵，左边 3x3 是内参（fx, fy, u0, v0），右边 3x4 是外参（R, t）。标定的本质，就是解出这 11 个未知数（内参 4 个 + 外参 6 个 + 畸变参数若干）。

    核心要点： 这个公式是光学标注的“宪法”。所有后续操作——手眼标定、三维重建、投影验证——都建立在这个公式之上。不理解它，后面的课你会越听越懵。

5. 实战中的坐标系检查清单

我每次做项目，都会按这个清单过一遍，避免低级错误：

世界坐标系原点在哪儿？ 是标定板角点？还是工件基准面？必须明确。
相机坐标系 Z 轴指向哪儿？ 是朝向场景还是朝向相机后方？不同软件约定不同。
图像坐标系 x 轴朝右还是朝左？ 有些库用左上角为原点，有些用中心。
像素坐标系 (u, v) 对应 (列, 行) 还是 (行, 列)？ OpenCV 和 Halcon 的约定不一样。
dx, dy 的单位是 mm 还是 μm？ 差 1000 倍，算出来全错。

你想想看，如果上面任何一条搞混了，后面的标注结果就是废的。我见过一个团队花了三周做三维重建，最后发现是坐标系方向反了——全部重来。

6. 一个小练习

假设世界坐标系下有一个点 P = (100mm, 50mm, 200mm)。相机外参为：无旋转（单位矩阵），平移 t = (0, 0, 0)。内参：fx = fy = 1000 pixel，u0 = 640，v0 = 512，dx = dy = 0.005mm/pixel。请计算该点在像素坐标系下的坐标 (u, v)。

答案我就不给了，你自己算一遍。算完你会发现，纸上得来终觉浅——动手算一次，比看十遍公式都管用。

好了，坐标系这块就讲到这里。记住那张转换路线图，后面的章节我们会反复用到它。